一、填充題
1.
已知二次函數\(f(x)\)滿足以下三條件：
(Ⅰ)\(f(-3+t)=f(1-t)\)，對任意實數\(t\)；
(Ⅱ)在區間\(-3\le x\le5\)，\(f(x)\)的最大值為24，最小值為\(-84\)；
(Ⅲ)\(f(-3)>f(5)\)。
試求\(f(6)=\)
。
2.
已知三次多項式\(f(x)\)的奇次項係數和與偶次項係數和相等，且\(f(0)=f(1)=12\)，其函數圖形\(y=f(x)\)的對稱中心為\((2,k)\)，則\(k\)的值為
。
3.
在空間坐標系中，有一正立方體\(ABCD-EFGH\)，其中底面正方形\(ABCD\)所在的平面方程式為\(2x-2y+z=0\)，\(E,F,G,H\)分別在\(A,B,C,D\)的正上方。已知頂點\(A\)的坐標為\((0,0,0)\)，頂點\(B\)的坐標為\((1,2,2)\)，頂點\(D\)與\(G\)的\(z\)坐標皆為正數，且\(G\)的\(z\)坐標大於\(C\)的\(z\)坐標，則頂點\(G\)的坐標為
。
4.
三角形\(ABC\)中，\(\sin A:\sin B:\sin C=5:7:8\)，求\(\cos A:\cos B:\cos C=\)
。
5.
已知\(1-\sqrt{3}i\)為實係數方程式\(x^3+ax^2+bx+c=0\)的一根，且此方程式與方程式\(x^2+ax+2=0\)恰有一共同的實根，求序組\((a,b,c)=\)
。
6.
設\(A\)為二階方陣，\(I_2\)為單位方陣，若\(A^2+3A+2I_2=\begin{bmatrix}6&0\\14&20\end{bmatrix}\)，則滿足條件的二階方陣\(A\)為
。
7.
設空間中\(\Delta ABC\)的三頂點坐標分別為\(A(-2,7,15)\)、\(B(1,16,3)\)、\(C(10,7,3)\)，試求\(\Delta ABC\)的外心坐標為
。
8.
\((\sqrt{1+3+\dots+(2n-1)}-\sqrt{2+4+\dots+2n})=\)
。
9.
將12個完全相同的球，任意投入3個不同的箱子\(A,B,C\)中。若規定：箱子\(A\)必須放置奇數個球，箱子\(B\)必須放置偶數個球，箱子\(C\)的放球數量不設限（可放0至12個球），則共有
種不同的放球方法。
10.
已知數列\(\langle a_n\rangle\)的前\(n\)項和\(S_n=2a_n+2026\)，求\(\displaystyle\frac{S_{20}}{S_{10}}=\)
。
11.
已知\(f(x)\) \((x\ge0)\)滿足\(\displaystyle\frac{1}{3}+\int_{1}^{x}f(t)dt=\frac{1}{3}xf(x)\)，求\(\displaystyle\int_{0}^{3}f(x)dx=\)
。
12.
空間中\(L_1\)：\(\displaystyle\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{2}=z-4\)與\(L_2\)：\(\displaystyle\frac{x-a}{6}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-7}{-2}\)交於一點，求\(L_1,L_2\)之交角平分線為
。
(115蘭陽女中，
https://math.pro/db/thread-4091-1-1.html)
13.
已知\(z\)為複數且\(w=1+\sqrt{3}i\)，設\(A\)為複數平面上滿足\(|z|\le k(k>0)\)的區域。若\(A\)恰好包含了方程式\((z-w)^3=8\)的所有複數根，則\(k\)的最小值為
。
14.
橢圓\(\Gamma\)：\(\displaystyle\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{3}=1\)以原點\(O(0,0)\)為中心逆時針方向旋轉\(45^{\circ}\)得橢圓\(\Gamma^{\prime}\)的方程式為
。
15.
將半徑為\(2\sqrt{2}\)公分的半球狀之容器裝滿了水置於桌上，今將此容器傾斜\(45^{\circ}\)，如右圖，則流出的水體積是
立方公分。
半徑\(a\)的半球體之容器裝滿水，今慢慢地將之傾斜\( 30^o \)，求流出水量的體積。
(101田中高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1365&page=4#pid7185)
16.
若\(x^2+y^2+axy-1\)可被\(x+by+c\)整除，則\(a+b+c\)之所有可能值為
。
17.
求\(\displaystyle y=\frac{\sin x\cos x}{\sin x+\cos x+2}\)的最小值。
18.
已知\(z^{23}=1,z\neq1,z\in\mathbb{C}\)，求\(\displaystyle\sum_{k=0}^{22}\frac{1}{1+z^k+z^{2k}}\)之值。
二、證明題
設伯努力試驗成功的機率為\(p\)，失敗的機率為\(q=1-p\)。令隨機變數\(X\)的取值表示\(n\)次獨立試驗中的成功次數。試證明：隨機變數\(X\)的期望值\(E(X)=np\)。
