一、填充題
1.
已知實數\(x\)滿足\(x+\log_{3}5\)，\(x+\log_{9}5\)，\(x+\log_{27}5\)成等比數列，試求公比為
。
設\(a\)為實數，使得\(a+log_2 3\)、\(a+log_4 3\)、\(a+log_8 3\)形成等比數列，求此公比為
。
(98彰化藝術高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=952&page=1#pid2527)
2.
設\(a,b,c\)為整數，若方程\(x^2-2x-1=0\)的根都是方程\(x^4+ax^2+bx+c=0\)的根，則\(a^2+b^2+c^2\)的最小值為
。
3.
\(\Delta ABC\)中，\(\angle A\)為銳角，以\(\overline{AC}\)為邊向外做正方形\(ACPQ\)，已知\(\Delta ABC\)與\(\Delta ABQ\)面積之和為8，且\(\overline{BC}+\overline{BQ}=16\)，求\(\overline{BC}=\)
。
4.
將1個紅球，2個相同白球，3個相同黃球，4個相同綠球排成一列，若規定2個白球不相鄰且存在2個相鄰的綠球，則共有
種排列方法。
5.
在\(3^1+1\)，\(3^2+2\)，\(3^3+3\)，\(\dots\)，\(3^{2025}+2025\)，\(3^{2026}+2026\)這2026個整數中，能被5整除的有
個。
6.
已知數列\(\langle a_{n}\rangle\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(a_1=9\)且\(\sqrt{S_{n-1}}+\sqrt{S_n}=a_n\;(n\ge2)\)，則\(a_{2026}=\)
。
(我的教甄準備之路 求數列一般項，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid9507)
7.
雙曲線\(\Gamma\)的兩漸近線方程式為\(3x-4y+5=0\)、\(4x-3y+2=0\)，且點\((6,7)\)為其焦點，試求\(\Gamma\)的貫軸長為
。
8.
設\(\vec{a}=(1,4s-t,2s+3t)\)，\(\vec{b}=(2,1,2)\)，且\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)的夾角為\(45^\circ\)。若\(\vec{a}\)與\(\vec{b}\)所張成的平行四邊形在三個坐標平面的投影面積分別為3，6，6，則實數數對\((s,t)=\)
。
9.
坐標平面上，\(\Gamma\)為三次函數\(f(x)=x^3-9x^2+15x-4\)的函數圖形，\(P(4,-24)\)為\(\Gamma\)上一點，直線\(L\)為\(\Gamma\)在\(P\)點的切線，則\(\Gamma\)和\(L\)所圍成有界區域的面積為
。
10.
將所有滿足\(z^2=(3+4i)\overline{z}\)的非零複數\(z\)畫在複數平面上可圍成一正多邊形，則此正多邊形的面積為
。
11.
設\(A,B\)為拋物線\(y^2=4x\)上兩點，且\(A,B\)均在第一象限上，點\(C\)在\(x\)軸上，且點\(C\)之\(x\)坐標為正數，滿足\(\overline{CA}=\overline{CB}\)且\(\overline{CA}\perp\overline{CB}\)。若\(\Delta ABC\)的面積為9，則點\(C\)的坐標為
。
12.
已知一個非公正硬幣擲出正面的機率為\(\displaystyle\frac{1}{3}\)、反面機率為\(\displaystyle\frac{2}{3}\)，今連續投擲此硬幣，紀錄每次擲出的結果，每次結果互相不影響，則首次出現正面、反面、正面依序出現所需的投擲次數期望值為
。
13.
坐標平面上，某點\(P\)先以原點\(O\)為中心逆時針旋轉\(170^\circ\)，再對於直線\((\sqrt{3}-1)x-(\sqrt{3}+1)y=0\)鏡射，其結果相當於\(P\)點直接對於直線\(y=(\tan\theta)x\)鏡射，\(0^{\circ}<\theta<180^{\circ}\)，試求\(\theta\)的度數為
。
14.
在坐標平面中，已知圓\(C_1\)與圓\(C_2\)相交於兩點，且其中一個交點為\(P(6,3)\)，兩圓的半徑之和為\(\displaystyle\frac{15}{2}\)，若兩圓均與直線\(L\)：\(y=mx\)和\(x\)軸相切，試求實數\(m\)的值為
。
15.
甲、乙兩人玩擲銅板遊戲，此銅板是不公正的銅板，每次投擲，其出現正面的機率為\(p\)。甲、乙兩人輪流擲此銅板，由甲先擲，先獲得正面者獲勝。但為了補償此遊戲不利於乙，言明乙第一次投擲時，若出現反面，則乙可再擲一次。若甲、乙兩人獲勝的機率都是\(\displaystyle\frac{1}{2}\)，則\(p\)的值為
。
二、申論教案題
1.
108課綱已推行多年，「多元選修」也成為高中校園深化學生核心素養與跨領域學習的重要舞台。您擔任一位高中數學老師，教務處請您於新學年第一學期為高一或高二學生規劃一門為期一學期的數學多元選修課程（每週2節課）。請依序回答下列4個小題，並清楚標明小題題號：
(1)課程基本計畫表
請擬定並寫出：
①課程名稱
②教學對象與開課年級
③簡要教學目標（請至少寫出兩點，須符合核心素養導向）
④評量方式與比例（傳統紙筆測驗或多元評量皆可，並清楚註明比例，總計應為100%）
(2)18週簡要授課進度規劃
請規劃第一學期約18週的教學進度。進度編排須具備邏輯遞進性，並能呼應教學目標。進度規劃中須合理扣除（或融入）期中、期末考週（請以3~4週為一個單元模組，條列呈現各週主題即可）。
(3)開課理念與素養核心
請針對以下兩點進行實務論述：
①開課動機：為什麼你想開設這門課？你會如何引發學生的動機，或如何滿足高成就學生的探究需求？
②撇除傳統的「紙筆測驗能力」，您希望學生修習完這門課後，能帶走什麼樣的核心能力（如：數學建模、科技工具操作、批判性思考、數據洞察等）或其他具體收獲？
(4)第一堂課（約2節課，共100分鐘）教案設計
請從您規劃的課程中，選擇「第一次上課」的內容，撰寫一份100分鐘的詳細課堂活動設計表：
內容須包含明確的引起動機、核心教材內容（學生要學到的數學工具或概念）、教學方法與學生實作活動、時間分配。
