一、填充題
1.
甲箱中共有7顆紅球，4顆白球，每次從甲箱中取一顆，放入乙箱內，直至甲箱無球為止。假若每次取出放入時，乙中紅球數量，皆不少於白球的數量，試問有幾種取法？
2.
設\(\displaystyle m,\frac{3m+25}{2m-5}\)皆為正整數。則所有符合條件的\(m\)的和為？
求最大的整數\(n\)使得\(\displaystyle \frac{n^3+108}{n+11}\)也是整數，\(n=\)
。
(108麗山高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3113&page=5#pid19741)
3.
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\ldots+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\right)=\)？
(類似問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9317)
4.
已知\(|\;log_2x|\;=ax+b\)之三相異實根，由小到大依次成為公比為2的等比數列，則\((a,b)=\)？
5.
圓內接五邊形\(ABCDE\)，其中\(\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DE}=4\)，且\(\overline{AE}=1\)，則\((1-cos\angle ABC)(1-cos\angle ACE)=\)？
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6.
設\(P(x,y)\)為\(x^2+(y-1)^2\le 1\)上任一點，\(\displaystyle \frac{x+y+1}{x-y+3}\)之最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，則\((M,m)=\)？
設\(x,y \in R\)，若\(x^2+(y-1)^2 \le 1\)，求\( \displaystyle \frac{x+y+1}{x-y+3} \)之最大值為？
(98玉井工商，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=811&page=1#pid1535)
7.
\(\triangle ABC\)中，\(\angle A=60^{\circ},\overline{AC}=b,\overline{AB}=c\)，\(D\in\overline{BC}\)，且\(\displaystyle\overline{BD}=\frac{1}{3}\overline{BC}\)。則\(\overline{AD}=\)?（以\(b,c\)表示）
8.
聯立方程組\(\begin{cases}3x^2+y^2-3xy=3+2\sqrt{2}\\y^2+z^2-yz=9+6\sqrt{2}\\z^2+w^2+\sqrt{3}zw=3+2\sqrt{2}\\w^2+3x^2+\sqrt{3}wx=9+6\sqrt{2}\end{cases}\)，求\(\sqrt{3}xz+yw\)之值為
?
(112學年度第一學期中山大學雙週一題第三題，連結有解答
https://www-math.nsysu.edu.tw/~problem/2023f/1121Q&A.htm)
9.
設\(\Gamma\)為\((x-3)^2+y^2=1\)繞\(y\)軸旋轉而成的立體(torus)，則\(\Gamma\)的體積為
？
設\(\Gamma\)為以圓\((x-2)^2+y^2=1\)繞\(y\)軸旋轉的立體(torus)，則\(\Gamma\)的體積為
，\(\Gamma\)的表面積為
(101內湖高工二招，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1467&page=1#pid6924)
10.
已知數列\(\langle a_n\rangle\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，首項\(\displaystyle a_1=\frac{1}{5}\)，且滿足\(a_n+2S_nS_{n-1}=0(n\ge2,n\in\mathbb{N})\)，則\(\displaystyle \frac{1}{S_{2026}}=\)?
11.
嘉鹿同學聽到嘉義市舉辦皮克敏活動。其中一個活動為開啟遊戲後每走一步即可於手機APP上獲得一張集字卡，字卡隨機出現「皮」的機率為\(\displaystyle\frac{1}{2}\)、出現「克」的機率為\(\displaystyle\frac{1}{4}\)、出現「敏」的機率為\(\displaystyle\frac{1}{4}\)。收集字卡活動集滿「皮」「克」「敏」即可獲得一頂皮克敏相關帽子。問嘉鹿同學成功收集到「皮」、「克」、「敏」三字所需走路步數的期望值為
。
12.
複數平面上，\(O\)為原點，\(\triangle ABO\)的頂點\(A\)、\(B\)分別對應複數\(z_1\)、\(z_2\)，若\(|\;z_1-2-2i|\;=|\;z_1-4-4i|\;\)且\(z_2=(1+\sqrt{3}i)z_1\)，則\(\triangle ABO\)的最小面積為
。
(101文華高中二招，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1462&page=2#pid6913)
(我的教甄準備之路 三角形的面積，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid2779)
13.
在坐標空間中，\(O\)為原點，\(\overrightarrow{OP}=(2\sin\alpha-\cos\beta,\sin\alpha+\cos\beta,\sin\alpha+2\cos\beta)\)，其中\(\displaystyle0\le\alpha\le\frac{\pi}{6}\)且\(\displaystyle0\le\beta\le\frac{\pi}{3}\)。求所有\(P\)點所成的區域面積。
14.
有\(A,B,C,D\)四艘不同的船，其中\(A,B,C\)三船個別最多可載3人，\(D\)船最多可載4人，求5人同時安全渡河的方法各有多少種？
設有\(A\)、\(B\)、\(C\)三艘渡船，每艘一次至多可搭載四人且不得有空船。今有六人欲同時乘船渡河，其中恰有一對夫婦，若欲安全過渡，且該夫婦又必須同船過渡，則有
種過渡法。
(102南科實中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1649&page=3#pid8884)
二、計算與證明題
1.
設對於所有實數\(x,y\)，函數\(f\)滿足\(f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y)\)，且\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=0\)。
(1)\(f(0)=\)？ (2)\(f'(x)=\)？ (3)\(f(x)=\)？
2.
平面上由上而下依序畫三條相異的平行直線，其中第一條與第二條、第二條與第三條的距離分別為\(d_1,d_2\)，若在三條直線上各取一點，使它們構成一個正三角形，則此正三角形的邊長為何？
(我的教甄準備之路 三平行線作正三角形，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid6229)
3.
證明在空間中，由\(\vec{u}=(a_1,b_1,c_1)\)、\(\vec{v}=(a_2,b_2,c_2)\)、\(\vec{w}=(a_3,b_3,c_3)\)三向量所決定的平行六面體的體積為\(|\;\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}|\;\)。
