A.
已知\(21!\)為20位數，計算其值等於\(51090942171709ab0000\)，其中\(a,b\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\)，則\((a,b)=\)
。
B.
遊戲公司宣稱某稀有卡片每次能抽取到的機率達\(2\%\)，\(A\)玩家不太認同，要進行合理性的檢定，選定幾何分布連續抽取到該稀有卡片為止，並決定顯著水準為0.01後，得到拒絕域為區間\([n,\infty)\)，其中\(n\)為自然數，則\(n=\)
。
C.
求\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}=\)
。
D.
平面上，\(O\)為原點，在\(\displaystyle\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)的兩條漸近線上分別取點\(A\)、\(B\)，使得\(\overline{OA}\times\overline{OB}=150\)。若\(P\)為\(\overline{AB}\)中點，且\(P\)點的軌跡方程式為\(\displaystyle\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=q及\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=r\)，則\(qr=\)
。
E.
設\(ABCD\)為正四面體，若\(P\)、\(Q\)、\(S\)、\(R\)分別為稜邊\(\overline{AB}\)、\(\overline{AC}\)、\(\overline{DB}\)、\(\overline{DC}\)上的分點，滿足\(\overline{AP}:\overline{PB}=\overline{AQ}:\overline{QC}=\overline{BS}:\overline{SD}=\overline{CR}:\overline{RD}=2:1\)，令四邊形\(PQRS\)與\(\triangle BCD\)所夾的兩面角為\(\theta\)，試求\(\cos\theta=\)
。
F.
設\(A(2,1,-2)\)、\(B(4,-1,-4)\)為空間兩點，原點\(O(0,0,0)\)與\(P(x,y,z)\)在平面\(E\)：\(2x+2y-z=0\)上且滿足\(\overline{OP}=1\)，試求\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2\)的最小值為
。
G.
設三角函數\(f(x)=sin^4x+cos^4x+sin^3x+cos^3x+sin^2x+cos^2x\)，令\(f(x)\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，試求\(M-m=\)
。
H.
令\(m\)、\(n\)為正整數，且\(m\)、\(n\)滿足\(\displaystyle\frac{m+n}{1+mn}=\frac{1}{64}\)，試求\(\log_{\sqrt{2}}(m+n)\)之最小值為
。
I.
一個半圓裡有個四邊形\(ABCD\)，其中\(\overline{AB}\)為直徑，且\(\overline{BC}=2\)，\(\overline{CD}=9\)，\(\overline{AD}=12\)，求\(\overline{AB}\)的長度為
。
\( \overline{P_0P_3} \)為半圓之直徑，\( P_1 \)、\( P_2 \)為半圓周上兩點。令\( a=\overline{P_0P_1} \)、\( b=\overline{P_1P_2} \)、\( c=\overline{P_2P_3} \)、\( d=\overline{P_0P_3} \)。試證d為方程式\( x^3-(a^2+b^2+c^2)x-2abc=0 \)之一根。
(81大學聯考 自然組)
類似問題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1655&page=2#pid8874
J.
如圖，\(I\)為\(\triangle ABC\)之內心，\(\overline{IQ}//\overline{AB}\)，\(\overline{IP}//\overline{AC}\)，若\(\overline{AB}=6\)，\(\overline{AC}=12\)，\(\overline{BC}=9\)，試求\(\vec{AP}\cdot\vec{AQ}=\)
。
K.
在\(3\times3\)方格紙的9個小格中心隨機選取4個分別標記一個記號◯。考慮任一小格，若其緊鄰的小格（不含自己）恰有2格被標記，則得一分，累計9小格的總得分數為隨機變數\(X\)，例：如圖，左下、中、上、右四小格各得1分，此時\(X=4\)。試求\(E(X)=\)
。
▭▭◯
◯◯▭
▭◯▭
L.
空間坐標系中，欲從點\(A(3,0,0)\)走捷徑前往點\(B(0,3,3)\)，每次都只能沿著平行\(x\)軸、\(y\)軸或\(z\)軸的方向移動一個單位。試問在不觸及平面\(E\)：\(2x+2y+z=4\)的條件下，一共有
種走法。
M.
平面座標上有三個圓\(C_1\)：\((x+5)^2+y^2=16\)、\(C_2\)：\((x-5)^2+y^2=4\)、\(C_3\)：\((x-29)^2+(y-24)^2=4\)，試問同時與此三個圓外切的圓心座標為
。
半徑為1cm、2cm、3cm的三個圓互相外切，如圖所示。有一個圓落於它們之間，分別與這三個外切，求這個小圓的半徑。
(98國立清水高中，連結有解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=836&page=1#pid1604)
N.
已知兩三次函數\(f(x)=x^3-x\)與\(g(x)=(x-1)^3-(x-1)+2\)的圖形有三條公切線，其中兩條公切線方程式分別為\(y=ax+b\)、\(y=ax+c\)，求\(abc=\)
。
(相關題目
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=5#pid28128)
O.
圓\(\Gamma_1\)是\(\triangle ABC\)的外接圓，\(\overline{AB}=8\)、\(\overline{BC}=7\)、\(\overline{CA}=6\)，\(D\)為直線\(BC\)上一點，滿足直線\(AD\)與圓\(\Gamma_1\)相切於\(A\)點，圓\(\Gamma_2\)通過\(A\)、\(D\)兩點，且和直線\(BD\)相切於\(D\)點，圓\(\Gamma_1\)、圓\(\Gamma_2\)交於\(A\)、\(E\)兩點，則\(\displaystyle\frac{\overline{EB}}{\overline{EC}}=\)
。
P.
數列\(\langle a_n \rangle\)滿足\(a_0=1\)，\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{7a_n+\sqrt{45a_n^2 - 36}}{2}\)，\(\forall n \in \mathbb{N}\)，且\(\langle F_n \rangle\)為費波納契數列，滿足\(F_1=F_2=1\)，若\(F_{2025}\)恰為\(\langle a_n \rangle\)的第\(m\)項，則\(m=\)
。
Q.
某學生解一道題目「已知\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{3n+2}=5\)，求\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{4n-a_n}{2a_n+3}\)。」解法如下：
\(\bbox[border:1px solid black]{因為\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{3n+2}=5，所以a_n=5(3n+2)=15n+10，
故所求\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{4n-a_n}{2a_n+3}=\lim_{n \to \infty} \frac{4n-(15n+10)}{2(15n+10)+3}=\lim_{n \to \infty} \frac{-11n-10}{30n+23}=\lim_{n \to \infty} \frac{-11-\frac{10}{n}}{30+\frac{23}{n}}=\frac{-11-0}{30+0}=\frac{-11}{30}。}\)
問該學生解法過程有無錯誤？若有，請指出錯誤與如何對學生說明，並給出正確解法。若無，請給出另一種做法。
R.
在翰林版課本第二冊數列級數的單元中提到，一個圓上有\(n\)個點互相連成線段之後，將圓的內部分割成最多\(a_n\)個區域；
某生在觀察前五項的規律之後，推測一般式\(a_n=2^{n-1}\)，試問此結果正確還是錯誤？若正確請證明；若錯誤，請找出正確的一般式，並解釋之。
(我的教甄準備之路 尋找圖形的規律，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid5274)
