一、填充題
3.
有一枚不均勻硬幣，正面機率為\(\displaystyle\frac{2}{3}\)，反面機率為\(\displaystyle\frac{1}{3}\)，若擲100次這枚不均勻硬幣，正面次數為偶數的機率為\(\displaystyle\frac{1+b^{100}}{a}\)，數對\((a,b)\)為。
4.
在複數平面上，複數\(z\)在第一象限，\(|z|=5\)且\(\displaystyle \left|\frac{-7}{5}+\frac{24}{5}i-z^3\right|=\left|\frac{-7}{5}+\frac{24}{5}i-z\right|\)，則複數\(z=\)。
5.
\(p\)為正整數，\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}=\)。
(我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615)
6.
圓周上10等分點，任意選取4個等分點圍成四邊形，每一點被選取機會均等，則所圍四邊形至少有一個角是直角的機率為\(\underline{\quad\quad\quad}\)。
7.
\([x]\)表示不大於\(x\)的最大整數，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{[\sqrt{n}]}}=\)。
8.
平面上一點\(P\)到正\(\triangle ABC\)各頂點距離分別是3、5、7，此正\(\triangle ABC\)面積為。
二、計算題
2.
將地球儀設定成一個坐標空間，球心為原點\(O\)，地球儀上\(A\)，\(B\)兩個城市的坐標\(A(5,0,0),B(3,4,0)\)，求地球儀上點\(C\)使得三城市\(A\)、\(B\)、\(C\)任兩點在球面上的最短距離皆相等。
3.
設\([x]\)表示不大於\(x\)的最大整數，滿足\([x^3]=4x+3\)的實數\(x\)為。
