2026TRML高中數學競賽 團體賽
1.
已知三次多項式函數\(f(x)\)之大域特徵與\(y=3x^3\)接近，又\(f(x)\)在\(x=-1\)附近之一次近似為\(x+5\)，且\(f(-2)=1\)，則\(f(x)\)的各項係數和為 。
2.
坐標空間中，一直線\(L:\displaystyle\frac{x+1}{2}=y-1=\frac{z+3}{-2}\)及兩點\(A(2,0,4)\)、\(B(6,3,-1)\)。若直線\(L\)在平面\(E\)上，且平面\(E\)與直線\(AB\)不相交。則\(A\)到平面\(E\)的距離為 。
3.
在\(2\times6\)單位長方形方格中，由左上角的頂點\(A\)走到右上角的頂點\(B\)的路徑中，每次移動一單位長，只能向右、向上或向下且路線不能重複的路徑共有 條。例如：下圖顯示一條可行的路徑。
4.
滿足\(\displaystyle\frac{x^2-8x-15}{x+7}-\frac{x^2-8x-10}{x+12}+\frac{x^2-8x-5}{x+17}=1\)的正實數\(x\)為 。
5.
如圖，在底面為平行四邊形\(ABCD\)的四稜錐\(P\text{-}ABCD\)中，\(\overline{AB}\perp\overline{AC}\)，\(\overline{PA}\)垂直平面\(ABCD\)，且\(\overline{PA}=\overline{AB}\)。若點\(E\)是\(\overline{PD}\)的中點，且包含\(\triangle EAC\)的平面與包含平行四邊形\(ABCD\)的平面之兩面角為\(\theta\)，則\(\sin \theta=\) 。
6.
將\(1,1,2,2,3,3,4,4,5,5\)（共10個數字）排成一列，使得任兩個相同數字\(k\)（\(k=1,2,3,4,5\)）之間的數（若有的話）都比\(k\)大，則滿足以上條件的排列有 個。
7.
\(n\)為小於2026的四位數。已知存在一正整數\(m\)，使得\(n-m\)為質數，且\(mn\)為完全平方數。試問這樣的\(n\)有 個。
8.
已知\(15\times19\)階矩陣\(A=\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots&19\\20&21&22&23&\cdots&38\\39&40&41&42&\cdots&57\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\267&268&269&270&\cdots&285\end{bmatrix}\)，即從第一列起由左而右、由上而下各元依序為\(1,2,3,\ldots,285\)。若對每一個\(m=1,2,3,\ldots,15\)，將\(A\)的第\(m\)列各元都加上\(m\)所得到的矩陣為\(B\)，則矩陣\(B\)的各元中有 個是7的倍數。
9.
將正整數\(n\)分拆為某些正整數的和。若將每一分拆的數都加上1後的數相乘，其乘積為\(3528=2^3\times3^2\times7^2\)，則\(n\)的最小可能值為 。
10.
對任意數列\(a_1,a_2,\ldots,a_n\)，定義函數\(f\)如下：
\[f(a_1,a_2,\ldots,a_n)=\begin{cases}a_1&\text{若}n=1\\f(a_1+a_2,\,a_2+a_3,\,\ldots,a_{n-2}+a_{n-1},\,a_{n-1}+a_n)&\text{若}n\ge 2\end{cases}\]
例如：\(f(0,1,2,3)=f(1,3,5)=f(4,8)=f(12)=12\)。則\(f(0,1,2,\ldots,100)\)除以1000的餘數為 。
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2026TRML高中數學競賽 思考賽
設\(A\)是由\(0\)與\(1\)組成的二元數列，以\(f(A)\)表示「相鄰項0,0的組數」減去「相鄰項\(1,1\)的組數」。例如：數列\(A\)：\(0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1\)中，相鄰項為\(0,0\)的有3組（其中連續項\(0,0,0\)貢獻2組），相鄰項為\(1,1\)的有2組；因此，\(f(A)=3-2=1\)。如果二元數列\(A\)滿足\(f(A)=0\)，則稱\(A\)為「\(n\)項平衡數列」。例如，在二元數列\(0,0,0,1,1,0,1,1\)中，出現\(0,0\)與\(1,1\)的組數各\(2\)組；因此，數列\(0,0,0,1,1,0,1,1\)為\(8\)項平衡數列。
對整數\(n>m\ge 0\)，設滿足\(f(A)=m\)的\(n\)項二元數列\(A\)有\(a_n(m)\)種。當\(m=0\)時，\(A\)為\(n\)項平衡數列。例如，\(2\)項二元數列中有\(2\)種平衡數列：\(1,0\)及\(0,1\)，故\(a_2(0)=2\)；而\(3\)項平衡數列也有\(2\)種：\(1,0,1\)及\(0,1,0\)，故\(a_3(0)=2\)。又在\(4\)項二元數列中，平衡數列有\(4\)種：\(0,1,0,1\)、\(1,0,1,0\)、\(0,0,1,1\)、\(1,1,0,0\)，故\(a_4(0)=4\)；而滿足\(f(A)=1\)的數列\(A\)有以下\(3\)種：\(0,0,1,0\)、\(1,0,0,1\)、\(0,1,0,0\)，因此，\(a_4(1)=3\)。
二元數列中的一「輪」（run）是指其一段連續的0區塊或連續的1區塊。例如，二元數列\(\underline{0,0,0},\underline{1,1},\underline{0,0},\underline{1},\underline{0},\underline{1,1}\)中，共有\(6\)輪，其中數字\(0\)有\(3\)輪，分別為\(0,0,0\)、\(0,0\)、\(0\)，而數字\(1\)也有\(3\)輪，分別為\(1,1\)、\(1\)、\(1,1\)。我們可以容易發現：對每一個二元數列，若數字\(0\)分成\(p\)輪，而數字\(1\)分成\(q\)輪，則\(p\)與\(q\)的值相差都不會超過\(1\)，即\(|p-q|\le 1\)。更明確地說，
(a)當首項與末項數字不同時，\(p=q\)；例如，\(0,0,1,1,1,0,1,1,0,1\)（\(p=3,q=3\)）、\(1,0,0,0,1,1,0,0,0,0\)（\(p=2,q=2\)）。
(b)當首項與末項均為\(0\)時，\(p-q=1\)；例如，\(0,0,1,1,1,0,1,1,0,0\)（\(p=3,q=2\)）。
(c)當首項與末項均為\(1\)時，\(p-q=-1\)；例如，\(1,0,0,0,1,1,0,0,0,1\)（\(p=2,q=3\)）。
試依序回答下列問題。
(1)試找出所有可能的8項二元數列\(A\)：\(a,b,0,0,0,1,1,1\)使得\(f(A)=0\)。
(2)試求\(a_5(0)\)之值，並請列出所有5項平衡數列。
(3)試求\(a_6(1)\)之值，並請說明理由。
(4)試求\(a_7(2)\)之值，並請說明理由。
(5)試問滿足\(f(A)\ge 0\)的6項二元數列\(A\)共有多少種？並請說明理由。
(6)設\(A\)為\(n\)項二元數列（\(n\ge 2\)），其中\(k\)項為0，分成\(p\)輪，且\(n-k\)項為1，分成\(q\)輪。試說明\(f(A)=2k-n-p+q\)。
(7)設\(B\)為\(n\)項二元數列\(A\)的一個重排，且\(A\)與\(B\)有相同的首項及相同的末項，試說明\(f(A)=f(B)\)。
(8)試找出所有可能的8項二元數列\(A\)，滿足\(f(A)=1\)，且\(A\)的前七項與末七項都是7項平衡數列。
(9)對正整數\(n\ge 2\)，試求\(a_n(0)\)的一般式，並請說明理由。
(10)對正整數\(n>m\ge 1\)，試求\(a_n(m)\)的一般式，並請說明理由。
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2026TRML高中數學競賽 個人賽第一回
I-1.
在\((1+2x)(1+4x^2)(1+8x^3)(1+16x^4)(1+32x^5)(1+64x^6)(1+128x^7)\)的展開式中，\(x^8\)項的係數為 。
I-2.
設\(\triangle ABC\)為銳角三角形，其中\(\overline{AB}=20\)，\(\overline{AC}=30\)，點\(D\)在\(\overline{BC}\)邊上，且\(\overline{BD}:\overline{DC}=10:7\)。若\(\sin \angle BAD=\displaystyle\frac{3}{5}\)，則\(\cos \angle BAC=\) （以最簡分數表示）。
I-3.
三角形\(ABC\)中，點\(D\)、\(E\)、\(F\)分別在線段\(\overline{BC}\)、\(\overline{AC}\)、\(\overline{AB}\)上，使得\(\overline{AF}:\overline{FB}=2:3\)、\(\overline{BD}:\overline{DC}=4:5\)、\(\overline{CE}:\overline{EA}=6:7\)。設\(\overline{AD}\)與\(\overline{EF}\)交於點\(G\)，則\(\displaystyle\frac{\overline{AG}}{\overline{GD}}=\) 。
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2026TRML高中數學競賽 個人賽第二回
I-4.
坐標空間中，設直線\(L\)方程組為\(\begin{cases}x+y+z=1\\x-y-z=1\end{cases}\)，點\(A\)的坐標為\((1,2,0)\)。若點\(B\)是直線\(L\)上離點\(A\)最近的一點，則點\(B\)的坐標為 。
I-5.
\(\triangle ABC\)中，頂點\(A\)、\(B\)、\(C\)的對邊長分別是\(a,b,c\)。若\(a^2,b^2,c^2\)為等差數列，則\(\sqrt{3}\cos B+\sin B\)的最小值為 。
I-6.
在\(10\times10\)的方格（直橫線各11條線）中，每一個小格都是\(1\times1\)的正方形，試問長、寬邊長分別為1奇1偶的矩形有 個。
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2026TRML高中數學競賽 個人賽第三回
I-7.
若正數\(p,q\)滿足有兩實數\(\alpha,\beta\)使得\(x^2+px-1=0\)的兩根為\(\alpha,\beta\)，而\(x^2+qx+1=0\)的兩根為\(\displaystyle\frac{\beta}{\alpha},\frac{\alpha}{\beta}\)，則\(\displaystyle\frac{q}{p}\)的最小可能值為 。
I-8.
若實數\(x,y\)滿足方程式\(\log\!\left(x^3+y^3+\displaystyle\frac{1}{27}\right)=\log x+\log y\)，則\(x+3y\)之值為 。
I-9.
坐標平面上，已知過點\(P(5,28)\)的直線與拋物線\(y=x^2\)交於\(A,B\)兩點。若\(\overline{AP}=3\overline{BP}\)，則\(\overline{AB}\)長度的最小可能值為 。
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2026TRML高中數學競賽 個人賽第四回
I-10.
若\(a,b\)為正數，且\(\displaystyle\frac{ab}{a+2b}=\frac{12}{5}\)，則\(2a+9b\)的最小可能值為 。
I-11.
在各位數字皆為2、4、6或8的四位數中，隨機選取一數，則此數為24的倍數之機率為 （以最簡分數表示）。
I-12.
坐標平面中，在以\(F_1(1,3)\)、\(F_2(5,9)\)為焦點且與\(x\)軸有交點的橢圓中，短軸長度的最小值為 。
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2026TRML高中數學競賽 接力賽第一回
R1-1.
滿足\(|x+2|\ge |x-2|\)且\(|x-2|\le |x-8|\)的整數\(x\)有 個。
R1-2.
設\(T\)為前面傳來的答案。若多項式\(x^3+Tx+1\)除以\(x-1\)的商式為\(q(x)\)，則\(q(x)\)除以\(x-2\)的餘式為 。
R1-3.
設\(T\)為前面傳來的答案。若某長方體的一條對角線在其六個面上的正射影長分別為\(\sqrt{6},\sqrt{6},5,5,T,T\)，則此對角線之長為 。
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2026TRML高中數學競賽 接力賽第二回
R2-1.
若對每一個實數\(x\)，不等式\(x^2+17\ge 2x+k\)都成立，則\(k\)的最大值為 。
R2-2.
設\(T\)為前面傳來的答案。坐標平面上，已知點\(A(T,\log_2T)\)在曲線\(y=\log_2x\)上，點\(B\)在曲線\(y=2^x\)上，且\(\overline{AB}\)與\(y=x\)垂直。若\(O\)為原點，則\(\triangle OAB\)的面積為 。
R2-3.
設\(T\)為前面傳來的答案。如圖，長方形\(ABCD\)中，點\(E\)在\(\overline{BC}\)上且\(\overline{AE}\)與\(\overline{BD}\)交於點\(F\)。若\(\triangle ADF\)的面積為\(T\)且\(\triangle BEF\)的面積為\(35\)，則\(\triangle CDE\)的面積為 。
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2026TRML高中數學競賽 同分賽
滿足\(\sqrt{x^2-2\sqrt{5}x+9}+\sqrt{x^2+2\sqrt{5}x+9}=10\)的正數\(x=\) 。
