1.
假設有一個不公正的硬幣，擲出正面的機率為\(\displaystyle \frac{3}{4}\)，則擲出30次，硬幣出現偶數次正面的機率為\(\displaystyle a+\frac{1}{2^n}\)，其中\(n\)為正整數，試求此時\((a,n)=\)
。
2.
若用3種不同顏色塗一個\(n\)邊形的\(n\)個邊，每邊塗一色，且相鄰兩邊必異色，令\(a_n\)表所有塗色方法，則\(a_3=3\times2\times1=6\)，試求\(\langle a_n \rangle\)的遞迴關係式並詳述產出過程？答：
。
3.
若複數\(z\)滿足\(|\;z|\;=2\)，則\(\displaystyle \frac{|\;z^2-z+1|\;}{|\;2z -1-\sqrt{3}i|\;}\)的最大值為
。
類似問題，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1143&page=1#pid3600
5.
坐標平面上，將一個過原點且半徑為\(r\)的圓完全放入\(y\ge x^4\)的區域內，則\(r\)的最大值是
。
6.
求極限\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{6}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{4-\left(\frac{\sqrt{3}k-\ln(1+\frac{1}{n})^n}{n}\right)^2}\)之值為
。
[提示]
\(\displaystyle 6\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\cdot\sqrt{4-\left(\sqrt{3}\cdot\frac{k}{n}-\frac{1}{n}\right)^2}=\int_{0}^{1}6\sqrt{4-3x^2}\,dx\)
(我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615)
7.
有一積木(示意圖如右圖結構)，其中\(ACFD\)和\(ABED\)是兩個全等的等腰梯形，\(BCFE\)是一個矩形。頂端稜邊\(\overline{AD}\)與底部平面\(BCFE\)平行。已知各邊長度數據如下：頂端稜邊長\(\overline{AD}=20\)，底部矩形長\(\overline{CF}=50\)，底部矩形寬\(\overline{EF}=12\)，頂端\(\overline{AD}\)到底部平面\(BCFE\)的垂直高度為10（即頂點\(D\)在底面的投影點\(P\)，\(\overline{DP}=10\)）。試求：此積木的體積為
。
8.
坐標空間中，\(O(0,0,0)\)為原點，平面\(z=h\)（其中\(0\le h\le1\)）上有一以\((0,0,h)\)為圓心的圓，在此圓上依順時鐘順序取6點構成正六邊形\(P_0P_1P_2P_3P_4P_5\)，使得各線段\(\overline{OP_j}\)(\(0\le j\le5\))的長度都是1，請參見示意圖。在\(\vec{OP_0}\)和\(\vec{OP_3}\)夾角不超過\(90^\circ\)的條件下，若\(V(h)\)是以\(O\)為頂點，正六邊形\(P_0P_1P_2P_3P_4P_5\)為底的正六角錐體積，試問正六角錐體積\(V(h)\)的最大值為
。
9.
若\(a\)、\(b\)、\(c\)三個正實數的總和為12，求\(\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+4}+\sqrt{c^2+16}\)的最小值為
。
10.
已知\(P\)為橢圓\(\displaystyle\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1\)上一個動點，設\(F\)為橢圓在\(x\)軸向上的焦點，\(A(7,-3)\)為一個定點，則滿足\(\overline{PA}+\overline{PF}\)為整數值的\(P\)點共有
個。
11.
若正\(\triangle ABC\)的三頂點\(A\)、\(B\)、\(C\)分別在半徑為\(\sqrt{3}\)、\(2\)、\(\sqrt{7}\)的同心圓上，且此同心圓圓心在正\(\triangle ABC\)內部，則此正\(\triangle ABC\)的面積為
。
若正三角形\(ABC\)的頂點\(A,B,C\)分別在半徑為\(\sqrt{3},2,\sqrt{7}\)的同心圓上，則此正三角形邊長為
。
(2025TRML，
https://math.pro/db/thread-4038-1-1.html)
(我的教甄準備之路 三平行線作正三角形，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid6229)
12.
設一袋中有紅、黃、藍色的球各一顆，若每次從袋中取出一球（每球被取出的機會均等），紀錄顏色後放回，然後再取一球...
(1)若連續兩次取出紅球即停止取球，則取球次數的期望值為何？答：
。
(2)若連續兩次取出相同顏色的球即停止取球，則取球次數的期望值為何？答：
。
【作題說明：若欲使用公式解題，請先證出公式，否則不予計分。】
13.
一正立方體有6個表面，每個表面有2條對角線，故一正立方體共有12條「表面對角線」。
現將一正立方體置於空間坐標系中，已知其中2條「表面對角線」分別位在兩直線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x-2}{4}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{5}\)與\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x}{1}=\frac{y-3}{5}=\frac{z-5}{-4}\)上，試求此正立方體的體積為
。
