一、填充題
1.
設實數\(\alpha\)、\(\beta\)滿足\(\log \alpha^3+3\alpha-6=0\)，\(10^{\beta+1}+10\beta-20=0\)，則\(\alpha+\beta\) 的值為
。
2.
坐標平面上點\(A(3,-1)\)及圓\(C\)：\((x+1)^2+(y-2)^2=5\)。過點\(A\)作圓\(C\)的切線\(\overline{AP}\)，其中點\(P\)為切點，若點\(Q\)為圓\(C\)上的動點，則向量內積\(\vec{AP} \cdot \vec{AQ}\)的最大值為
。
3.
在坐標空間中，設\(\Gamma\) : \(\cases{2x+3y=1 \cr 3x-2y=-5}\)，\(\Lambda\)：\(\{ (x,y,z) \mid x=4, y=k \}\)，動點\(P, Q\)分別在\(\Gamma\)和\(\Lambda\)的圖形上，已知\(\overline{PQ}\)的中點軌跡方程式為\(\cases{x=x_0 \cr y=7}\)，若 \(\overline{PQ}\)長的最小值為\(m\)，則\(x_0+k+m=\)
。
7.
試求方程式：\(2x^2-4=\sqrt{(3x^2-2x-12)(x^2+2x+4)}\)的實根為
。
8.
如右圖所示，有一直圓錐面，高為\(\sqrt{143}\)，底部圓面積為\(\pi\)，圓錐頂點\(O\)與底面圓周上一點\(A\)，\(\overline{OA}\)中點為\(B\)，今有一隻螞蟻從點\(A\)出發，沿著圓錐表面爬行兩圈後到達點\(B\)，求螞蟻爬行的最短距離為
。
9.
空間中\(L_1\)：\(\displaystyle x-1=\frac{y-3}{2}=\frac{z-4}{2}\)與\(L_2\)：\(\cases{x+y=4 \cr y+2z=2}\)為一正立方體某兩邊所在的直線方程式。則此正立方體的體積為
。
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10.
正七邊形\(ABCDEFG\)內接於一單位圓，則線段長乘積\(\overline{AB} \times \overline{AC} \times \overline{AD}\)為
。
11.
圓上有四點\(A,B,C,D\)，已知兩弦\(\overline{AC}\perp\overline{BD}\)，設\(\overline{AB}=2\)，\(\overline{CD}=3\)，則此圓面積為
。
12.
等軸雙曲線\(x^2-y^2=8\)的中心為\(O\)，兩焦點\(F_1\)，\(F_2\)，點\(P\)在此雙曲線上，若\(\overline{PO}=9\)，則線段乘積\(\overline{PF_1}\cdot \overline{PF_2}=\)
。
13.
如附圖之蜂房結構，每兩個相鄰的蜂房間都有一通道，一隻蜜蜂從蜂房\(A\)出發，想爬到第10號蜂房，但不許反向倒走(即蜂房號碼不可愈走愈小)，則共有
種走法。
14.
設數列\(\langle a_n \rangle\)滿足\(a_{n+1}=a_n+2^n\)，且\(a_1=1\)，則\(\displaystyle \frac{1}{a_1 \times a_2}+\frac{2}{a_2 \times a_3}+\frac{2^2}{a_3 \times a_4}+\ldots+\frac{2^9}{a_{10} \times a_{11}}=\)
。
二、計算證明題
1.
實驗室中有\(n\)個砝碼，重量分別為\(a_1,a_2,\ldots,a_n\)。已知從中任取兩個砝碼秤重的重量和為\(A_i\) ，所有\(A_i\)的總和為\(k\)克；
從中任取三個砝碼秤重的重量和為\(B_i\)，所有\(B_i\)的總和為\(2k\)克。若已知這些砝碼重量滿足\(a_1^2+a_2^2+a_3^2+\ldots+a_n^2\)的最小值為2400，試求\(k\)的值。
2.三角形\(ABC\)三邊邊長\(\overline{AB}=4\)、\(\overline{BC}=6\)、\(\overline{AC}=5\)，則：
(1)\(\overline{BC}\)邊上的高\(\overline{AH}=\)
。
(2)在\(\overline{AB}\)邊上取一動點\(P\)、在\(\overline{AC}\)邊上取一動點\(Q\)，則\(\triangle PQH\)周長的最小值為
。
