3.
空間座標中，一正立方體的八個頂點分別為\((0,0,0)\)、\((1,0,0)\)、\((0,1,0)\)、\((0,0,1)\)、\((1,1,0)\)、\((1,0,1)\)、\((0,1,1)\)、\((1,1,1)\)，已知三個平面\(E_1\)：\(2x+2y+2z=3\)、\(E_2\)：\(3x+y+3z=5\)、\(E_3\)：\(3x+3y+4z=6\)與此正立方體的截痕分別為\(a\)邊形、\(b\)邊形、\(c\)邊形，求序對\((a,b,c)=\)
。
在坐標空間中，一正立方體的八個頂點分別為\((0,0,0)\)、\((1,0,0)\)、\((1,1,0)\)、\((0,1,0)\)、\((0,0,1)\)、\((1,0,1)\)、\((1,1,1)\)與\((0,1,1)\)。試問下列那一個平面與此正立方體的截面為五邊形？
(1)\(2x+2y+2z=3\)
(2)\(2x+2y+2z=5\)
(3)\(3x+y+3z=5\)
(4)\(3x+3y+4z=6\)
(5)\(3x+6y+4z=11\)。
(103科學班聯合學科資格考，連結有解答
https://phsms.cloud.ncnu.edu.tw/ ... 91%8A%E7%89%88).pdf)
4.
已知空間中一直線\(L\)：\(\displaystyle \frac{x-1}{2}=y-2=\frac{z-3}{-2}\)以及線外兩點\(A(5,2,-2)\)、\(B(1,-3,5)\)。若\(P\)點為\(L\)上之動點，當\(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值時的\(P\)點座標為
。
已知空間中一直線\(L\)：\(\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{-2}\)以及線外兩點\(A(5,2,-2)\)、\(B(1,-3,5)\)。若\(P\)點為\(L\)上之動點，當\(\overline{PA}+\overline{PB}\)有最小值時的\(P\)點座標為
。
(113科學班聯合學科資格考，連結有解答
https://phsms.cloud.ncnu.edu.tw/ ... 91%8A%E7%89%88).pdf)
5.
已知\([x]\)表示不大於實數\(x\)的最大整數，解方程式\((logx)^2-[logx]-6=0\)得\(x=\)
。
7.
\(\triangle ABC\)中，已知\(M\)為\(\overline{BC}\)中點，\(\overline{AB}\)上一點\(P\)使\(\overline{AP}=4\)，\(\overline{BP}=3\)，\(\overline{AC}\)上一點\(Q\)使\(\overline{AQ}=2\)，\(\overline{CQ}=1\)，\(\angle PMQ=90^{\circ}\)，則\(cosA=\)
。
(110科學班聯合學科資格考，連結有解答
https://phsms.cloud.ncnu.edu.tw/ ... 91%8A%E7%94%A8).pdf)
8.
廣場中央有一座噴泉，某人從\(A\)點出發，沿噴泉周圍的小路不重複地繞噴泉走一周，最終回到\(A\)點的走法有
種。(噴泉會在你走的路線內部)
广场中央有一座漂亮的喷泉．小明从\(A\)点出发，沿喷泉周围的小路不重复地绕喷泉走一周，最终回到\(A\)点的走法共有
种(图中的两个圆及两圆之间的线段均表示小路，绕喷泉一周指小明行走路线为封闭路线且喷泉在此路线内部)
(百度網頁
https://zhidao.baidu.com/question/1836376399825521020.html)
10.
設有一拋物線\(y=x^2-2x-5\)，過\(A(-1,0)\)的一直線\(L\)與此拋物線所圍成的區域面積有最小值時，求\(L\)的方程式為
。
直線 \(L\) 通過點 \((2,1)\) 且與拋物線 \(y=-x^2+2x+2\) 圍成一個封閉區域，試問封閉區域的最小面積。
(103台中女中，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1867&page=1#pid10017)
11.
在\(\triangle ABC\)中，已知\(\angle B\)的分角線\(\overline{BE}\)與\(\overline{BC}\)邊的中線\(\overline{AD}\)垂直且等長(\(E\)在\(\overline{AC}\)上)，已知\(\overline{BE}=\overline{AD}=8\)，求\(\triangle ABC\)的周長=
。
在\(\triangle ABC\)中，已知\(\angle B\)的分角線\(\overline{BE}\)與\(\overline{BC}\)邊的中線\(\overline{AD}\)垂直且等長，已知\(\overline{BE}=\overline{AD}=4\)，試求此三角形之周長=
。
(105科學班聯合學科資格考，
https://phsms.cloud.ncnu.edu.tw/eduexp/PastExam.aspx)
12.
計算\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{4n^2-3k^2}}{2n^2}=\)
。
(我的教甄準備之路 黎曼和和夾擠定理，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615)
13.
設\([x]\)表示小於或等於\(x\)的最大整數，則\(\displaystyle \sum_{n=1}^{2025}\left[\frac{2025+2^n}{2^{n+1}}\right]=\)
。
14.
空間中兩點\(A(x_1,y_1,z_1)\)、\(B(x_2,y_2,z_2)\)之間的"絕對距離"定義如下：\(d(A,B)=|\;x_1-x_2|\;+|\;y_1-y_2|\;+|\;z_1-z_2|\;\)。已知\(s>0\)，定義以\(A\)點和\(B\)點為焦點的"絕對橢球"為點集合\(\{\;P|\;d(P,A)+d(P,B)=s \}\;\)。則經過點\((1,0,0)\)且焦點為\((0,3,0)\)與\((0,0,4)\)的絕對橢球之體積為
。
二、計算證明題
1.
設函數\(f(x)=x+3+\sqrt{5-x^2}\)，求\(f(x)\)的最大值及最小值。
(我的教甄準備之路 兩根號的極值問題，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174)
3.
設\(k\)為正整數，已知兩拋物線\(\Gamma_1\)：\(y=x^2-k\)與\(\Gamma_2\)：\(x=-2(y-30)^2+k\)有四個相異交點。
(1)證明滿足題意的\(k\)值的最小值為6。
(2)當\(k=6\)，此四個交點座標\((x,y)\)皆會滿足\((x-a)^2+(y-b)^2\le r^2\)，求\(r\)的最小值。
設\(k\)為正整數，使兩拋物線\(\Gamma_1\)：\(y=x^2-k\)與\(\Gamma_2\)：\(x=-2(y-30)^2+k\)有四個相異交點，且這四個交點都位於某個半徑不大於10的圓上。滿足題意的\(k\)值不只一個，證明：滿足題意的\(k\)值的最小值為6。
(112科學班聯合學科資格考，
https://phsms.cloud.ncnu.edu.tw/eduexp/PastExam.aspx)
