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114嘉科實中

poemghost

天哥．數醉

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1^# 大中小發表於 2025-4-27 18:59 只看該作者

114嘉科實中

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114嘉科實中_試題與答案_更正版.pdf (386.05 KB): 2025-4-30 12:26, 下載次數: 2484

越學越多，越發現自己是多麼渺少...微不足道

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peter0210

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2^# 大中小發表於 2025-4-27 20:28 只看該作者

填充二答案(k,a,b)應該是(16/3,4/3,4)

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peter0210

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3^# 大中小發表於 2025-4-27 21:52 只看該作者

填充6
可星和予熹兩人進行某項比賽，約定每局必分出勝負，勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿8局時停止。設可星在每局中獲勝的機率為\(\displaystyle \frac{3}{4}\)，且各局勝負為獨立事件，求比賽停止時，比賽局數的期望值為　　　。
[解答]

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poemghost

天哥．數醉

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4^# 大中小發表於 2025-4-27 22:31 只看該作者

回覆 2# peter0210 的帖子

嗯嗯沒錯，可能會再公告修正答案吧！

越學越多，越發現自己是多麼渺少...微不足道

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cut6997

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5^# 大中小發表於 2025-4-27 22:42 只看該作者

6.
可星和予熹兩人進行某項比賽，約定每局必分出勝負，勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿8局時停止。設可星在每局中獲勝的機率為\(\displaystyle \frac{3}{4}\)，且各局勝負為獨立事件，求比賽停止時，比賽局數的期望值為　　　。
[解答]
提供個另解
規則去掉8次停止的期望值E(X)
E(X)=1+3/4E(A)+1/4E(B)
E(A)=1+1/4E(X)
E(B)=1+3/4E(X)
=>E(X)=2+6/16E(X)
=>E(X)=16/5
期望值-9次以後的期望值+不合規定的8次停止
E(X)-16*(3/4)^4*(1/4)^4(8+E(X))+16*(3/4)^4*(1/4)^4*8
=16/5(1-16*(3/4)^4*(1/4)^4)=803/256

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bugmens

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6^# 大中小發表於 2025-4-28 09:00 只看該作者

2.
\(x\)、\(y\)為實數，且\(x^2+xy+y^2=6\)，試求\(x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y\)的最大值及最小值分別為多少？
[解答]
令\(\cases{x+y=u\cr xy=v}\)，其中\((x-y)^2\ge 0\)，\((x+y)^2\ge 4xy\)，\(u^2\ge 4v\)
\(x^2+xy+y^2=6\)，\((x+y)^2-xy=6\)，\(u^2-v=6\)，\(u^2=v+6\)，\(u^2\ge 4(u^2-6)\)，\(-2\sqrt{2}\le u \le 2\sqrt{2}\)
\(x^2y+xy^2-x^2-2xy-y^2+x+y=xy(x+y)-(x+y)^2+(x+y)=u(u^2-6)-u^2+u=u^3-u^2-5u\)
令\(f(u)=u^3-u^2-5u\)，\(f'(u)=3u^2-2u-5=0\)，\((u+1)(3u-5)=0\)，\(\displaystyle u=-1,\frac{5}{3}\)
\(f(-2\sqrt{2})=-8-6\sqrt{2}\)，\(f(-1)=3\)，\(\displaystyle f(\frac{5}{3})=-\frac{175}{27}\)，\(f(2\sqrt{2})=-8+6\sqrt{2}\)
最大值\(3\)，最小值\(-8-6\sqrt{2}\)

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Superconan

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7^# 大中小發表於 2025-4-30 11:05 只看該作者

回覆 1# poemghost 的帖子

weiye 註：更正版試題與答案檔，已移至本文首篇，方便大家下載討論。

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Superconan

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8^# 大中小發表於 2025-9-27 11:35 只看該作者

請教填充第 7 題

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thepiano

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9^# 大中小發表於 2025-9-27 15:21 只看該作者

回覆 8# Superconan 的帖子

第 7 題
平面向量\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)滿足\(|\;\vec{a}|\;=|\;\vec{b}|\;=1\)且\(\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}\)，若\(\vec{a}-\vec{c}\)與\(\vec{c}-\vec{b}\)的夾角為\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)，求\(|\;\vec{c}|\;\)的最大值與最小值的總和為　　　。
[解答]
(向量 a - 向量 c) 與 (向量 c - 向量 b) 的夾角是 60 度
即 (向量 a - 向量 c) 與 (向量 b - 向量 c)的夾角是 120 度

設向量 PA = 向量 a，向量 PB = 向量 b，向量 PC = 向量 c
作 △PAB 的外接圓圓 O
則
當 PC 是圓 O 半徑時，|向量 c| 有最小值
當 PC 是圓 O 直徑時，|向量 c| 有最大值

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ruee29

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10^# 大中小發表於 2025-10-10 11:39 只看該作者

整理了一些解答，供參考~

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114嘉科實中.pdf (1.8 MB): 2025-10-10 11:39, 下載次數: 1146

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