114松山高中

請教填充第 1, 3 題

1.
試求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{1+4^{2^n}}=\)　　　。

2.
已知拋物線\(y^2=x\)與圓\((x-4)^2+y^2=r^2(r>0)\)交於相異四點，試求\(r\)的取值範圍為　　　。

3.
設\(a,b\)為實數，試求\(\sqrt{2a^2-6a+5}+\sqrt{b^2-4b+5}+\sqrt{2a^2-2ab+b^2}\)的最小值為　　　。

二、計算題
2.
試求滿足方程組\(\cases{xy=z-x-y\cr xz=y-x-z\cr yz=x-y-z}\)的有序實數組\((x,y,z)\)。

9.
已知\(L_1\)：\(\cases{x=7+4t\cr y=2-t\cr z=4+2t},t\in \mathbb{R}\)與\(L_2\)：\(\cases{2x+y-1=0\cr 3y-2z+11=0}\)為正四面體\(\Gamma\)某兩個稜所在直線。說明\(L_1\)與\(L_2\)的位置關係，並求正四面體\(\Gamma\)的體積。

第 3 題
設\(a,b\)為實數，試求\(\sqrt{2a^2-6a+5}+\sqrt{b^2-4b+5}+\sqrt{2a^2-2ab+b^2}\)的最小值為　　　。
[解答]
√[(a - 1)^2 + (a - 2)^2] + √[(0 - 1)^2 + (b - 2)^2] + √[(a - 0)^2 + (a - b)^2]
y = x 上一點 A(a，a)，y 軸上一點 B(0，b)，C(1，2)
AC + BC + AB 之最小值

作 C 關於 y = x 之對稱點 D(2，1)，作 C 關於 y 軸之對稱點 E(-1，2)

所求之最小值 = DE = √10

第 1 題
試求\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{1+4^{2^n}}=\)　　　。
[解答]
原式 = 1/15 + 1/(1 - 4^2) + 1/(1 + 4^2) + 2/(1 + 4^4) + ...
= 1/15 + 2/(1 - 4^4) + 2/(1 + 4^4) + ...
= 1/15 + 4/(1 - 4^8) + ... 逐項合併
= 1/15 + 2^n/{1 - 4^[2^(n+1)]}
= 1/15

想請教一下 計算7(2)以及8 謝謝各位老師！

第 7 題
在\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=5\)、\(\overline{BC}=7\)、\(\overline{AC}=6\)，\(\triangle ABC\)的內切圓\(\Gamma\)切\(\overline{BC}\)於\(D\)，\(P\)是\(\overline{AD}\)與\(\Gamma\)的另一個交點。
(1)若\(\vec{AD}=s\vec{AB}+t\vec{AC}\)，求數對\((s,t)\)。
(2)若\(\vec{AP}=p\vec{AB}+q\vec{AC}\)，求數對\((p,q)\)。
[解答]
(2)
cosB = (5^2 + 7^2 - 6^2) / (2 * 5 * 7) = 19/35
AD = √(5^2 + 3^2 - 2 * 5 * 3 * 19/35) = (2/7)√217

內切圓與 AC 切於 E，AE = 2
AE^2 = AP * AD
AP = (2/31)√217

AP = (7/31)AD
向量 AD = (4/7)向量 AB + (3/7)向量 AC
向量 AP = (7/31)向量 AD = (7/31)(4/7)向量 AB + (7/31)(3/7)向量 AC
= (4/31)向量 AB + (3/31)向量 AC


第 8 題
空間中，矩形\(ABCD\)與矩形\(CDEF\)的兩面角為\(30^{\circ}\)，\(\overline{AD}=20\)，\(\overline{AF}=26\)，且\(A\)點在平面\(CDEF\)的投影點為\(H\)。已知\(G\)點在矩形\(CDEF\)所在平面上，且\(\overline{FG}\perp \overline{FA}\)，\(\overline{FG}=32\)，求\(|\;\vec{GH}|\;\)。
[解答]
A 的投影點 H 在 DE 上
AD = 20，兩面角 ∠ADH = 30 度，AH = 10
AF = 26，FG = 32，FG 和 FA 垂直，AG = √(26^2 + 32^2) = √1700
AH 和 GH 垂直，GH = √(AG^2 - AH^2) = √(1700 - 10^2) = 40

整理了一些解答，供參考~