113台北市立陽明高中

想問第7題 與 17題   還有第 12題  13題  謝謝老師

第 7 題
假設袋中有15顆球，其中4顆紅球、1顆白球、10顆黃球。規定一次只能抽一球且不放回去，現在依甲先乙後的順序分別抽球一次，但當抽到的球是白球時，則須馬上再補抽一球。問甲有抽中紅球且乙也有抽中紅球的機率為　　　
[解答]
分三種情況
(1) 甲紅，乙紅
(2) 甲紅，乙先白後紅
(3) 甲先白後紅，乙紅

第 17 題
已知cos−1x=cos−121+cos−171，求x=　　　
[解答]
O(0，0)、A(1，0)、B(0，√3)
作 角ABC = 90 度，AC = 14，BC = √192
作 CD 垂直 直線 OA 於 D
AD = a，CD = b，D(a + 1，0)、C(a + 1，b)

a^2 + b^2 = 14^2
(a + 1)^2 + (b - √3)^2 = 192
可解出 a = 11，b = 5√3

x = -a/14 = -11/14

1.
1(1+21+31+41++199+1100)+3(21+31+41++199+1100)
+5(31+41+199+1100)++197(199+1100)+1991100=　　　
連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9317

2.
y=f(x)=2024k=1x(x−k) ，當實數x=　　　時，y有最小值？

3.
有十個數abcdef8111217。若此十個數的平均值和abcdef六個數的平均值相等，且這兩組數的變異數也相等，則此變異數為　　　。
(95台灣師大數學系推薦甄選入學指定項目甄試試題，連結有解答https://www.ltedu.com.tw/Web/Upl ... ource13/math003.pdf)

4.
設f(n)表示正整數n之最大奇因數，例如f(3)=3、f(10)=5，則f(1)+f(2)+f(3)++f(50)=　　　

若g(n)表示正整數n的奇因數中最大者，例如：g(3)=3g(14)=7。求2nk=1g(k)=g(1)+g(2)+g(3)++g(2n)= 
(110新竹高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3493&page=4#pid22411)

6.
若x、y是實數且滿足2x2+5y2=7x，求18x+10y2的最大可能值為　　　。

設f(xy)=2x+5y2，試求在x2+2y2=1的限制下，f(xy)的最小值。
(100新北市高中聯招，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1114&page=2#pid3574)

7.
假設袋中有15顆球，其中4顆紅球、1顆白球、10顆黃球。規定一次只能抽一球且不放回去，現在依甲先乙後的順序分別抽球一次，但當抽到的球是白球時，則須馬上再補抽一球。問甲有抽中紅球且乙也有抽中紅球的機率為　　　。
(106松山工農，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2794&page=2#pid17599)
另解https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2794&page=2#pid17602

8.
將一些正方形用如右圖一樣方式填滿一個矩形盒子，則稱這些正方形可以被組裝成一個「鋸齒狀矩形」；右圖恰為一個64的鋸齒狀矩形，它是由39個大小相同的正方形所構成的。則一個97的鋸齒狀矩形內有　　　個這樣的正方形。
(2005年青少年數學國際城市邀請賽　個人數學競賽試題，http://www.chiuchang.org.tw/download/iwymic/iym2005a.pdf)

10.
以一個正方體的頂點為頂點的四面體共有　　　個
連結有解答http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=340

11.
連接正八面體每一面中心點，會得到一正六面體。試求此正六面體體積：原正八面體體積之比值為　　　。

相關問題
若一個正八面體的頂點恰好為一個正立方體各面的中心點(即各面對角線之交點)，設八面體的體積為a，正立方體的體積為b，求ba=　　　。(以最簡分數表示)
(110竹北高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3500&page=2#pid22566)


12.
將長度為l之線段任意分為三段，則三段相接能構成一個三角形之機率為　　　。
連結有解答https://blog.csdn.net/wangche320/article/details/9270575

在區間(0,1)當中，隨機任選兩個相異點x和y，即可將此區間分成長度各為a,b和c的三個子區間。已知每一個序對(a,b,c)出現的機率均等，試問a,b和c可以作為一個三角形的三邊長的機率為何？
(100台中區複賽試題二試題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1349&page=1#pid7179)

14.
如右圖，圓與正三角形ABC的三邊交出6個點，如果\overline{AG}=2、\overline{GF}=13、\overline{FC}=1、\overline{HI}=7，試求\overline{DE}=　　　。

如圖(三)，一圓交一正三角形ABC於D、E、F、G、H、I六點，若\overline{CF}=1，\overline{FG}=13，\overline{AG}=2，\overline{HI}=7，則\overline{DE}=　　　。
(100麗山高中，連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1138&page=2#pid4204)

20.
xy平面上有兩點A(-2,1)、B(-5,0)，設P點在x軸上移動，則\displaystyle \frac{\overline{PB}}{\overline{PA}}之比值有最大值時的P點坐標為何？

在空間坐標系中有兩定點 A(3,0,0), B(11,4,3)，點P在x軸上變動, 求 \displaystyle \frac{\overline{PA}}{\overline{PB}} 的最大值？
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2702&page=1#pid16623

17.
已知\displaystyle cos^{-1}x=cos^{-1}\frac{1}{2}+cos^{-1}\frac{1}{7}，求x=　　　
[解答]
令cos^(-1) (1/2)=θ1, cos^(-1) (1/7)=θ2  (θ1,θ2在第一象限)
則cos(θ1)=1/2 , sin(θ1)=(√3)/2
    cos(θ2)=1/7 , sin(θ2)=(4√3)/7
且x=cos(θ1+θ2)=cosθ1*cosθ2-sinθ1*sinθ2
     =(1/2)*(1/7)- [(√3)/2]*[(4√3)/7)]= -11/14

請問老師 第 13題

13.
設\Delta ABC的三邊長\overline{AB}=c、\overline{BC}=a、\overline{CA}=b，且\displaystyle |\;b-c|\;cos \frac{A}{2}=5、\displaystyle (b+c)sin\frac{A}{2}=10‌，則a之值為　　　
[解答]
第一式平方+第二式平方
b^2+c^2-2bc[cos^2(A/2)-sin^2(A/2)]=125
b^2+c^2-2bc*cosA= a^2 = 125
a = 5*5^0.5

謝謝老師