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113彰化女中

kobelian

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1^# 大中小發表於 2024-4-24 09:02 只看該作者

113彰化女中

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113彰女數學科參考答案_公告（更正版）.pdf (422.72 KB): 2024-4-24 18:03, 下載次數: 1652

113彰女數學科試題卷_公告.pdf (570.71 KB): 2024-4-24 09:15, 下載次數: 2105

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kobelian

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2^# 大中小發表於 2024-4-24 09:15 只看該作者

想請問 8 , 12 14

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bugmens

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3^# 大中小發表於 2024-4-24 09:23 只看該作者

1.
x，y為實數，則

(x+5)2+(y+4)2+25+

(x−3)2+(y−5)2+49 之最小值是　　　。

12.
數列

an

滿足遞迴關係

a1=2an+1=32an+1

n

1，求limn

(an−1)(−23)n=　　　。
補充資料https://math.pro/db/thread-1668-1-1.html
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434

13.
求(1+x+x2+x3)6展開式中x5的係數=　　　。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2629
相關問題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514

2.
證明：對於所有大於1的自然數n而言，sin

n

sinn2

sinn3

sinn(n−1)

=n2n−1恆成立。
連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3020&page=1#pid19087

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weiye

瑋岳

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4^# 大中小發表於 2024-4-24 09:39 只看該作者

第 14 題：

設數學分數為 x1

x2

xn，物理分數為 y1

y2

yn，

兩科加總分的分數為 z1

z2

zn，兩科的相關係數為 r，

則

x=60

y=70

x=5

y=6

z=9，且

z=

x+

y

利用 \displaystyle z_i^2 = \left(x_i+y_i\right)^2, i =1, 2, 3, ..., n ，

得 \displaystyle z_1^2+z^2+ ... +z_n^2 = x_1^2 + x^2+ ... + x_n^2 + 2\left(x_1 y_1+x_2 y_2+...+x_n y_n\right)+y_1^2+y_2^2+...+y_n^2

\displaystyle \Rightarrow n\left(\mu_z^2 + \sigma_z^2\right) = n\left(\mu_x^2 + \sigma_x^2\right)+2\left(n\sigma_x\sigma_y r+ n\mu_x \mu_y\right) +n\left(\mu_y^2 + \sigma_y^2\right)

\displaystyle \Rightarrow \sigma_z^2= \sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y r +\sigma_y^2

\displaystyle \Rightarrow 9^2= 5^2 + 2\cdot 5 \cdot 6 \cdot r +6^2

得 \displaystyle r=\frac{1}{3} 。

故迴歸直線為 \displaystyle y-70 = \frac{1}{3}\cdot\frac{6}{5}\left(x-60\right)

註1：相關係數 \displaystyle r = \frac{x_1y_1 + x_2 y_2 + ... +x_n y_n - n\mu_x \mu_y}{n\sigma_x\sigma_y}

　　　　　　　\displaystyle \Rightarrow x_1y_1 + x_2 y_2 + ... +x_n y_n = n\sigma_x\sigma_y r +n\mu_x \mu_y

註2： \displaystyle \mu_z = \mu_x + \mu_y\Rightarrow \mu_z^2 = \mu_x^2+2\mu_x\mu_y+\mu_y^2

多喝水。

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weiye

瑋岳

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5^# 大中小發表於 2024-4-24 09:56 只看該作者

第 8 題：

設 A(0+4i), B(3+0i), P(z), C(0+i) 皆為複數平面上的點，

\displaystyle \left|z\right| = \frac{4}{\left|-1+\sqrt{3}i\right|}=2 \Rightarrow P 在「以原點為圓心、以 2 為半徑」的圓 C 」上。

又此圓亦是滿足 PA:PC = 2:1 的阿波羅圓，

所以 \displaystyle \frac{1}{2}PA + PB = PC+PB \geq BC = \sqrt{10} 。

註： A, B 都在圓外， C 在圓內。

多喝水。

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kobelian

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6^# 大中小發表於 2024-4-24 10:16 只看該作者

回覆 4# weiye 的帖子

謝謝老師我再來研究一下中間那個相關係數

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weiye

瑋岳

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7^# 大中小發表於 2024-4-24 10:46 只看該作者

第 12 題：

解 \displaystyle x = \frac{3}{2x+1}，得 x=1 或 \displaystyle x=-\frac{3}{2}

令 \displaystyle b_n=\frac{a_n-1}{a_n+\frac{3}{2}}，則

\displaystyle b_n=\frac{a_n-1}{a_n+\frac{3}{2}} = \frac{\frac{3}{2a_{n-1}+1}-1}{\frac{3}{2a_{n-1}+1}+\frac{3}{2}}

\displaystyle =\frac{-4a_{n-1}+4}{6a_{n-1}+9} = \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot\frac{a_{n-1}-1}{a_{n-1}-\frac{3}{2}} = \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot b_{n-1}

可得 <b_n> 是一個首項為 \displaystyle \frac{a_1-1}{a_1+\frac{3}{2}}= \frac{2}{7}，公比為 \displaystyle -\frac{2}{3} 的等比數列，

寫出 b_n 的一般項，可得 a_n 的一般項。

多喝水。