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114建國中學

本主題由 bugmens 於 2025-4-1 18:48 合併

weiye

瑋岳

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1^# 大中小發表於 2025-3-30 22:53 只看該作者

114建國中學

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114建國中學.pdf (960.87 KB): 2025-4-1 18:49, 下載次數: 422

多喝水。

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Superconan

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2^# 大中小發表於 2025-3-30 22:59 只看該作者

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請教填充題11.

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Jimmy92888

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3^# 大中小發表於 2025-3-31 09:56 只看該作者

引用:

原帖由 Superconan 於 2025-3-30 22:59 發表
請教填充題11.

設x1、…、x25中，有p個正數a1、…、ap，q個負數b1、…、bq
a21+…+a2p+b21+

+b2q=1、p＋q

25
令K＝a1＋…＋ap＝−(b1＋…＋bq)
原題目即求2K的最大值
由Cauchy-Schwarz Inequality知
(ai平方和)．p

K2，即(ai平方和)

pK2
(bj平方和)．q

K2，即(bj平方和)

qK2

兩式相加，得1

K2(p1＋q1)
即K2

pqp+q
當(p

q)=(12

13)或(13

12)時，2K有最大值為54

39

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kobelian

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4^# 大中小發表於 2025-4-1 18:23 只看該作者

114建國中學

114.4.1版主補充
將官方題目移到第一篇

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kobelian

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5^# 大中小發表於 2025-4-1 18:34 只看該作者

回覆 1# kobelian 的帖子

請問老師1，7，9

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Jimmy92888

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6^# 大中小發表於 2025-4-1 20:06 只看該作者

回覆 5# kobelian 的帖子

第1題
設AB=c，AC=b，
令

CAD=

，
得tan

=tan(

−45

)=71
因為

ABC面積＝

ABD面積+

ACD面積，
所以52bc=23c+310b
再利用算幾不等式，得bc

445
就可得

ABC面積的最小值=52

445=29

第7題
將cos2

=1−2sin2

代入，
令x=sin

，利用微分，求f(x)=3+x8−2x2在區間[−1

1]的最大值與最小值
若f

(x)=(3+x)2−2x2−12x−8=0，則x=−3

5
比較f(−1)=3，f(1)=23，f(−3+

5)=12−4

5
故M=12−4

5 ，m=23

第9題
x2＋y2＋z2＝(x+y+z)2−2(xy+xz+yz)=(x+y+z)2−2xyz(x1+y1+z1)
令

x

=

y

=

z

=r，得

xyz

=r3=

8 ，
xx=yy=zz=r2=2
x1+y1+z1=41(x+y+z)=41(x+y+z)=−8

3+4

5i
所以，x2+y2+z2=(−2

3+

5i)2−2

(

3+

5i)

(−8

3+4

5i)=49+2

15i
x1x2+y1y2+z1z2=21Im(x2+y2+z2)=4

15

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-3 22:13 編輯 ]

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Superconan

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7^# 大中小發表於 2025-4-1 21:11 只看該作者

回覆 1# weiye 的帖子

請教填充第 2 題

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Jimmy92888

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8^# 大中小發表於 2025-4-1 21:29 只看該作者

回覆 7# Superconan 的帖子

填充第2題
由三邊長可得，−−

OA

−−

OB=5
因為−−

OD=21−−

OC=41−−

OA+41−−

OB
所以−−

OD

−−

OA=41

−−

OA

2+41(−−

OA

−−

OB)=47+45=3
又P、D、Q在直線L上，且直線L垂直直線OA
所以−−

OP

−−

OA=−−

OQ

−−

OA=−−

OD

−−

OA=3
故m=3

−−

OA

2=73，n=3−−

OA

−−

OB=53

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-4-1 21:45 編輯 ]

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peter0210

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9^# 大中小發表於 2025-4-1 21:47 只看該作者

填充5

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2025-4-1 21:47

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joiuk123

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10^# 大中小發表於 2025-4-2 15:20 只看該作者

回覆 1# weiye 的帖子

想請問老師們，計算1、2(2)。
計算1(1)我有整理出來，但我證明(2)時，我使用數學歸納法，感覺應該會和(1)有關，但找不出關聯。

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