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請問一題組合恆等式

耳東陳

1# 大 中 小 發表於 2025-10-30 10:48  只看該作者

請問一題組合恆等式

如附件，請問要如何證明？

附件

組合恆等式.png (8.67 KB)

2025-10-30 10:48

組合恆等式.png

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tsusy

寸絲
2# 大 中 小 發表於 2025-11-1 09:05  只看該作者

回覆 1# 耳東陳 的帖子

這是巴貝奇定理，但少做一次差分的結果

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=673

證明的話，可以走數學歸納法，
原多項式 \( n \) (正整數) 次、領導係數 \( a \)每做一次差分後，
得到新的多項式為 \( n-1 \) 次、領導係數為 \( n a \)。

此恆等式，即 \( x^n \) 做 \( n \) 差分的結果
網頁方程式編輯 imatheq

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Harris

3# 大 中 小 發表於 2025-11-7 15:38  只看該作者

回覆 1# 耳東陳 的帖子

考慮 X={1,2,3,...,n}，Y= {1,2,3,...,n}，f:X→Y 共有n^n個不同的函數
其中是one-to-one且onto的函數共有n!種，利用排容原理，將全部扣掉至少有一個y當中的元素沒被映射的情形
n!=C(n,0)n^n-C(n,1)*(n-1)^n+C(n,2)*(n-2)^n+...+(-1)^n-1*C(n,n-1)*(1)^n
同乘以(-1)^n-1即可

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