請問矩陣2題

請問矩陣2題
二階方陣\(A\)與\(B\)滿足\(A+B=O\)，\(AB=I\)，若\((A^3-B^3)^{-1}=rA+sB\)，則 \(4r-3s=\)？
[Ans] 2

2.
設\(A\)為三階可逆方陣且滿足\(A\left[\matrix{10\cr 10\cr 30}\right]=\left[\matrix{1\cr 0\cr 0}\right]\)，\(A\left[\matrix{30\cr 40\cr 50}\right]=\left[\matrix{0\cr 20\cr 0}\right]\)，\(A\left[\matrix{-20\cr -30\cr -40}\right]=\left[\matrix{0\cr 0\cr 50}\right]\)，若\(AX=\left[\matrix{2\cr -40\cr 200}\right]\)且\(X=\left[\matrix{a\cr b\cr c}\right]\)，則\((a,b,c)=\)？(不用三階反方陣的公式解題)
[Ans] \((-120, -180, -200)\)

2.
設\(A\)為三階可逆方陣且滿足\(A\left[\matrix{10\cr 10\cr 30}\right]=\left[\matrix{1\cr 0\cr 0}\right]\)，\(A\left[\matrix{30\cr 40\cr 50}\right]=\left[\matrix{0\cr 20\cr 0}\right]\)，\(A\left[\matrix{-20\cr -30\cr -40}\right]=\left[\matrix{0\cr 0\cr 50}\right]\)，若\(AX=\left[\matrix{2\cr -40\cr 200}\right]\)且\(X=\left[\matrix{a\cr b\cr c}\right]\)，則\((a,b,c)=\)？(不用三階反方陣的公式解題)
[解答]
\(\displaystyle (2，-40，200)=2(1，0，0)-2(0，20，0)+4(0，0，50)\)
所求\(\displaystyle X= 2(10，10，30)-2(30，40，50)+4(-20，-30，-40)=(-120，-180，-200)\)

1.
二階矩陣\(A\)與\(B\)滿足\(A+B=O\)，\(AB=I\)，若\((A^3-B^3)^{-1}=rA+sB\)，則\(4r-3s=\)？
[解答]
化簡整理得知
\(\displaystyle A^2=B^2=-I\)
所求=\(\displaystyle (-A+B)^{-1}=(2B)^{-1}=\frac{1}{2}B^{-1}=\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}A+0B\)
得\(\displaystyle 4r-3s=2\)

第 1 題
A + B = 0
這樣 (r，s) 會有無限多解，只能確定 r - s = 1/2

第1題
如果將B更換成−A，又會造成不同的答案