第3題
這題的答案是對，但詳解沒有「詳細」。
其實這個寫成黎曼和後，缺了一項，所以應該要再加一項減一項(看是要補第0項或第n項都可以，一個左和一個右和)
然後最後的再說明減的那一項取極限後是0。
若視為左和，
原式\(\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\frac3{n^2}\left(\sqrt{4n^2+9\times0^2}+\sqrt{4n^2+9\times1^2}+\cdots+\sqrt{4n^2+9\times(n-1)^2}-\sqrt{4n^2+9\times0^2}\right)\)
\(\displaystyle=\int_0^3\sqrt{4+x^2}\,dx-\lim_{n\to\infty}\frac{6n}{n^2}=\int_0^3\sqrt{4+x^2}\,dx\)
若想視為右和，也可以
原式\(\displaystyle=\lim_{n\to\infty}\frac3{n^2}\left(\sqrt{4n^2+9\times1^2}+\cdots+\sqrt{4n^2+9\times(n-1)^2}+\sqrt{4n^2+9\times n^2}-\sqrt{4n^2+9\times n^2}\right)\)
\(\displaystyle=\int_0^3\sqrt{4+x^2}\,dx-\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{13}n}{n^2}=\int_0^3\sqrt{4+x^2}\,dx\)
要嚴僅的話，還要說明limit拆兩個相減，必須要極限存在。
事實上，中間拿掉有限項，收斂值不變，但高中應該是沒講這個。
我的感覺是出題老師少寫了一項，只是還好答案沒變。
[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-7-13 17:27 編輯 ]
