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填充 6.
已知實數x,y滿足\cases{xy^2\ge 81 \cr x^2y\ge 243 \cr x\ge 1,y\ge 1}，當(x,y)=(p,q)時，x^3y^4有最小值m，則\displaystyle \frac{m}{pq}的值為 。
[解答]
(xy^{2})^{5}\cdot(x^{2}y)^{2}=x^{9}y^{12}=(x^{3}y^{4})^{3}
故 (x^{3}y^{4})^{3}\ge81^{5}\cdot243^{2}=3^{30}
又 x,y 均為正數，故 x^{3}y^{4}\ge3^{10}
等式成立之條件為 \left\{ \begin{array}{c}
xy^{2}=81\\
x^{2}y=243
\end{array}\right.\Leftrightarrow x=9 且 y=3
故所求 \displaystyle \frac{m}{pq}=\frac{3^{10}}{9\cdot3}=3^{7}=2187
