111臺中女中

學校公告的試題與解答

2.
\(\Delta ABC\)中，令\(\overline{BC}=a\)，\(\overline{AC}=b\)，\(\overline{AB}=c\)。若\(a,b,c\)成等差，試求\(\displaystyle tan\frac{A}{2}\cdot tan\frac{C}{2}\)之值。

\(\Delta ABC\)中，\(\overline{BC}=a,\overline{AC}=b,\overline{AB}=c\)，若\(a\)、\(b\)、\(c\)成等差數列，則\(\displaystyle tan\frac{A}{2}tan\frac{C}{2}=\)　　　。
(105鳳山高中，https://math.pro/db/thread-2511-1-1.html)

16.
\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n^6}\sum_{k=1}^n [(n^2+nk+k^2)(n+k)^3]=\)　　　。
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615

計算3
考慮一系列方程式\(x-1=0\)、\(x^2-x-1=0\)、\(x^3-x^2-x-1=0\)、\(\ldots\)、\(x^k-x^{k-1}-x^{k-2}-\ldots-x-1=0\)、\(\ldots\)，若已知：對任意正整數\(k\)，方程式\(x^k-x^{k-1}-x^{k-2}-\ldots-x-1=0\)都恰有一個正實根。
(1)設方程式\(x^k-x^{k-1}-x^{k-2}-\ldots-x-1=0\)的唯一正實根為\(\alpha_k\)(\(k\)為任意正整數)，試證：無窮數列\(\langle\;\alpha_k\rangle\;\)為收斂數列。
(2)試證\(\displaystyle \lim_{k\to \infty}\alpha_k=2\)。
[解答]
\(x^k-x^{k-1}-......-x-1=x^k-(x^{k-1}+......+x+1)=x^k-\frac{x^k-1}{x-1}=\frac{x^{k+1}-2x^k+1}{x-1}\)
所以\(\alpha_k\)為\(x^{k+1}-2x^k+1=0\)的一個正根。

設
\(f_k(x)=x^{k+1}-2x^k+1\)
\(f_k^\prime(x)=(k+1)x^{k}-2kx^{k-1}=(k+1)x^{k-1}(x-(2-\frac{2}{k+1}))\)
則\(f_k(x)\)在\((0,2-\frac{2}{k+1})\)遞減，在\((2-\frac{2}{k+1},\infty)\)遞增
且\(f_k(0)=1,\;f_k(1)=0,\;f_k(2)=1\)

注意到當k>1時，
\(1<2-\frac{2}{k+1}<2\)

因為\(f_k(x)\)在\((0,2-\frac{2}{k+1})\)遞減且\(f_k(0)=1,\;f_k(1)=0,\)
所以在\((0,2-\frac{2}{k+1})\)，\(f_k(x)=0\)恰有一根，即為1。

同時，因為\(f_k(x)\)在\((2-\frac{2}{k+1},\infty)\)遞增且\(f_k(1)=0,\;f_k(2)=1,\)
所以在\((2-\frac{2}{k+1},\infty)\)，\(f_k(x)=0\)恰有一根，此根必為\(\alpha_k\)，且
\(2-\frac{2}{k+1}<\alpha_k<2\)
同取極限，即可得極限值為2。

計算一
\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=\overline{AC}\)，\(D\)在\(\overline{BC}\)上且\(E\)在\(\overline{AD}\)上，若\(\angle BED=2\angle CED=\angle A\)，求證：\(\overline{BD}=2\overline{CD}\)。
[解答]

填充第 6 題
可以將 AC 分別與 AB, AD 內積以後，得到聯立方程式去解 x, y。
但是這樣有點暴力，想請問有沒有漂亮一點的方法？

填充6.
已知\(ABCD\)為圓內接四邊形，且\(\overline{AB}=2\)、\(\overline{BC}=3\)、\(\overline{CD}=4\)、\(\overline{AD}=4\)，若\(\vec{AC}=x\vec{AB}+y\vec{AD}\)，則\(x-y\)之值為　　　。
[解答]
令\(E\)為線段\(BD\)和\(AC\)的交點
由 線段\(AE\):線段\(CE\)\(=2\times 4:3\times 4=2:3\)
線段\(BE\):線段\(DE\)\(=2\times 3:4\times 4=3:8\)
推得向量\(AE=\frac{3}{11}\)向量\(AE+\frac{8}{11}\)向量\(AB\)和向量\(AE=\frac{2}{5}\)向量\(AC\)
向量\(AC=\frac{5}{2}(\frac{3}{11}AD+\frac{8}{11}AB)\)
最後整理一下即可算出

填充第 11 題
一圓周上有六個等分點按順時針順序依次記為\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)、\(F\)。考慮如下遊戲：開始時將一石子放在出發點\(A\)，令投擲一骰子，若擲出偶數點，則石子順時針前進兩個等分點；若出現奇數點，則石子順時針前進一個等分點。當石子恰好停在\(A\)點時，則遊戲結束。試問遊戲結束時，石子恰繞圓兩圈的機率為　　　。

請問這樣算，錯在哪？

您第一圈有包含踩到A點就結束了。
要考慮先採到F點，跨過A點踩到B點回到A點，
所以方法數為\((C_{2}^{3}(\frac{1}{2})^3+C_{1}^{4}(\frac{1}{2})^4+(\frac{1}{2})^5)^2\times\frac{1}{2}\)

填充第 15 題
設\(x,y,z\)為實數，且滿足\(\cases{-2\le x+y+2z\le 3\cr -3\le 　y+2z\le 1\cr -4\le x+2y+5z\le 3}\)。當\((x,y,z)=(p,q,r)\)時，\(2x-3y-8z\)有最大值為\(m\)，則序組\((p,q,r,m)=\)　　　。

請問這樣算，有辦法求 p, q, r 嗎？

您不是求出來了嗎?
當有最大值時，\(x+y+2z=3,y+2z=-3,x+2y+5z=-4\)解出來就可以了!