104羅東高中第一次教甄

104羅東高中第一次教甄部分試題

抱歉，有打錯，已更正！！

想請問6和7怎麼做??
謝謝~

在\(xy\)平面上，以拋物線\(\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2\)上的點\(P(a,b)\)為中心，作與\(y=-1\)相切的圓\(C\)，且記切點為\(M\)。設\(a>2\)，圓\(C\)與\(y\)軸相交於兩點\(H\)與\(L\)(\(L\)較\(H\)靠近原點)。扇形\(PLM\)(中心角較小的那一個)的面積記為\(S(a)\)，三角形\(\Delta PHL\)的面積記為\(T(a)\)，求\(\displaystyle \lim_{a\to \infty}\frac{T(a)}{S(a)}\)。
[解答]
只想到這方法！
設\(\displaystyle P(t,\frac{1}{4}t^2),t>2\)
\(\displaystyle (x-t)^2+(y-\frac{1}{4}t^2)^2=(\frac{1}{4}t^2+1)^2\)
令\(x=0\)
\(\displaystyle t^2+(y-\frac{1}{4}t^2)^2=\frac{1}{16}t^4+\frac{1}{2}t^2+1\)
\((y-\frac{1}{4}t^2)^2=\frac{1}{16}t^4-\frac{1}{2}t^2+1=(\frac{1}{4}t^2-1)^2\)
\(\displaystyle y-\frac{1}{4}t^2=\pm(\frac{1}{4}t^2-1)\)
\(y=1\)or\(\displaystyle \frac{1}{2}t^2-1\)
\(\displaystyle L(0,1),H(0,\frac{1}{2}t^2-1),M(t,-1)\)
\(T(a)=\frac{1}{2}|\;\left| \matrix{0&0&t&0\cr 1&\frac{1}{2}t^2-1&\frac{1}{4}t^2&1}\right| |\;=\frac{1}{2}\left|\ -\frac{1}{2}t^3+\frac{3}{2}t\right|\)
\(S(a)=\frac{1}{2}|\;\left| \matrix{0&t&t&0\cr 1&-1&\frac{1}{4}t^2&1} \right| |\;=\frac{1}{2}\left|-\frac{1}{4}t^3-t \right|\)
\(\displaystyle \lim_{a \to \infty}\frac{T(a)}{S(a)}=\lim_{t\to \infty}\left| \frac{-\frac{1}{2}t^3+\frac{3}{2}t}{-\frac{1}{4}t^3-t} \right|=2\)

可是s(a)不是扇形嗎??可是直接忽略嗎??

當移動到無窮遠處時(θ趨近sinθ)，扇形面積可視為三角形面積

探討一道旋轉體體積的命題、解題與成題
http://rportal.lib.ntnu.edu.tw:8 ... 102671a1108/content

第7題可參考上列網址是用papus定理算出(請全部圈選貼上網址)
另想請教第2和第4題


105.12.3版主修正連結
111.6.20版主修正連結

第4題
\(n\in N,a \in N,n\ge 3,0<a<10^n\)且\(10^{n+1}+a\)被\(10^n+a\)整除，試求\(a\)值。
[解答]
\(\left( {{10}^{n}}+a \right)\left| \left( {{10}^{n+1}}+a \right) \right.\)

令\({{10}^{n+1}}+a=k\left( {{10}^{n}}+a \right)\)，\(k=2,3,4,\cdots ,9\)

一一檢驗可知
\(\begin{align}
  & k=6,a=\frac{4}{5}\times {{10}^{n}} \\
& k=7,a=\frac{1}{2}\times {{10}^{n}} \\
& k=9,a=\frac{1}{8}\times {{10}^{n}} \\
\end{align}\)

第2題
\(n\in N\)，試解出方程式\((x+1)^n=x^n\)的所有根。(請化簡到最簡形式\(a+bi\)，其中\(a,b\in R\))
[解答]
\(\begin{align}
  & {{\left( x+1 \right)}^{n}}={{x}^{n}} \\
& {{\left( 1+\frac{1}{x} \right)}^{n}}=1 \\
& 1+\frac{1}{x}=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}\ ,\ k=0,1,2,\cdots ,n-1 \\
& x=\frac{1}{\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}-1}\ ,\ k=1,2,\cdots ,n-1 \\
& =\frac{\left( \cos \frac{2k\pi }{n}-1 \right)-i\sin \frac{2k\pi }{n}}{2-2\cos \frac{2k\pi }{n}} \\
& =-\frac{1}{2}-\frac{\sin \frac{2k\pi }{n}}{2-2\cos \frac{2k\pi }{n}}i \\
\end{align}\)

令人欽佩，感謝鋼琴老師！

這一份真的寫到懷疑人生
附上小弟算出的答案 還請各位先進指教指正
感覺會有很多錯誤 PS.前面幾樓的幾位老師回答的題目答案，也順便寫在這樓，方便參考

1.\(\displaystyle (\sqrt{5}+1)R \)，\(\angle{BAC}=cos^{-1}\frac{1}{\sqrt{5}}\)
2.\(2\sqrt{3}-2\)
3.Max:\(2\sqrt{3}\) min:4
4.\(\displaystyle \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\)
5.(2) 5
6.2
7. (1) \(\displaystyle P(X_n=k)=\frac{k}{4}P(X_{n-1}=k)+\frac{5-k}{4}P(X_{n-1}=k-1 )\)
(2)\(\displaystyle \frac{781}{256} \)
(3)\(\displaystyle \frac{4^n-3^n}{4^{n-1}}\)
8.\(\displaystyle a=\frac{1}{8}\times 10^n,\frac{1}{2}\times 10^n,\frac{4}{5}\times 10^n \)
9.\(\displaystyle  \sqrt{3} \)
10.\(18\pi \)
11.\(\displaystyle-\frac{1}{2}-\frac{\sin \frac{2k\pi }{n}}{2-2\cos \frac{2k\pi }{n}}i \)
12.\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{60}\pi \)
13.\(\displaystyle\frac{4}{e}\)
14.\(\displaystyle\frac{9}{2}\)
15.\(\displaystyle\frac{8}{315}\)