數學營的習題

jmath2021

1^# 大中小發表於 2022-3-23 16:17 只看該作者

x,y,z是正整數
x+y-z=12
x^3+y^3-z^2=2022
解(x,y,z)
假設x>y 則x不能太大(這一點有無好的解釋)
11^3=1331,12^3=1728,13^3=2197,14^3=2744
我解出x=12,y=z=7
就教於各位高手多謝

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satsuki931000

satsuki

2^# 大中小發表於 2022-3-23 22:58 只看該作者

回復 1# jmath2021 的帖子

分享一下小弟的做法有點暴力看看有沒有更好的解法

移項可得x+y=12+z

x3+y3=2022+z2

利用立方和公式: 2022+z2=(z+12)3−3xy(z+12)

整理化簡可得3xy=z+12z3+35z2+432z−294=(z2+23z+156)−2166z+12

同除3

xy=3z2+23z+156−722z+12

N

可知z+12必為722的因數，且z必為3k 或是3k+1的形式

檢驗可得z=7 或z=349

若z=7

xy=84

x+y=19，解得(x

y)=(12

7)

若z=349

x+y=361，計算發現xy過大，導致D

0

也就是說這個情形沒有實數解

故此方程組只有一組解(x

z)=(12

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jmath2021

3^# 大中小發表於 2022-3-24 06:31 只看該作者

很不錯
多謝

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