104板橋高中

如檔

為什麼第一部分的填充2我一直算出162/25....

2.
設\(O\)為坐標平面的原點，若過點\(\displaystyle P\left(\frac{6}{5},\frac{12}{5}\right)\)的直線分別與\(x\)軸，\(y\)軸的正向交於\(A,B\)兩點，則當\(\Delta OAB\)周長為最小值時，\(\Delta OAB\)的面積為　　　。
[提示]
當 A(3，0)，B(0，4) 時，△OAB 有最小周長 12，此時 △OAB = 6

想請教3.7.9.13.15
謝謝版上的老師們。

(3)
空間中兩直線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x-6}{-2}=\frac{y+5}{2}=\frac{z-5}{-1}\)與\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x+2}{-4}=\frac{y-6}{7}=\frac{z-7}{4}\)的其中一條分角線方程式為\(\displaystyle \frac{x-6}{4}=\frac{y-b}{2}=\frac{z-c}{d}\)，求\(b+c+d=\)　　　。
[提示]
找交點，找分角線方向

(9)
設\(a,b,c\)為實數，二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)的二根為\(\alpha,\beta\)，其中\(-1\le \alpha \le 0\)，\(1\le \beta \le 2\)，若\(2a+b+c=4\)，且\(a\ge 2\ge b\ge -8\)，則\(a+3b+2c\)的最小值為　　　。
[解答]
由 \( a>0 \) 知函數 \( f(x) = ax^2+bx+c \) 之圖形為開口向上的拋物線

又 \( f(x) = 0 \) 之兩根 \( \alpha, \beta \)，故 \( f(-1) \geq 0, f(0) \leq 0, f(1) \leq 0, f(2) \geq 0 \)。

故 \( a,b \) 滿足  \( f(-1) \geq 0, f(0) \leq 0, f(1) \leq 0, f(2) \geq 0 \) 及 \( a\geq2 \), \( 2\geq b \geq -8 \)

以 \( c = 4 -2a -b \) 替換，可得一線性規劃問題(變數為 \( a,b \) )，以頂點法可找到最小值

空間中兩直線\(L_1\)：\(\displaystyle \frac{x-6}{-2}=\frac{y+5}{2}=\frac{z-5}{-1}\)與\(L_2\)：\(\displaystyle \frac{x+2}{-4}=\frac{y-6}{7}=\frac{z-7}{4}\)的其中一條分角線方程式為\(\displaystyle \frac{x-6}{4}=\frac{y-b}{2}=\frac{z-c}{d}\)，求\(b+c+d=\)　　　。

若數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)滿足\(\displaystyle (1+x+x^2)^{2015}=1+\sum_{k=1}^{4030}a_kx^k\)，則\(a_1+a_5+a_9+\ldots+a_{4029}=\)　　　。

8.
整係數三次函數\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，已知\(\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x^5-1}=2\)，且\(a>b>0\)，則數對\((a,b,c)=\)　　　。

10.
設對任意實數\(x,y\)，函數\(f(x)\)恆滿足\(f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy\)，且導數\(f'(0)=3\)，則導函數\(f'(x)=\)　　　。

11.
化簡\(\displaystyle \prod_{n=2}^{24}\frac{n^3-2n^2+2n-1}{n^3+2n^2+2n+1}=\)　　　。

第8,10,11題 如圖檔

請問第二題詳細算式！謝謝！

第2題
設\(O\)為坐標平面的原點，若過點\(\displaystyle P\left(\frac{6}{5},\frac{12}{5}\right)\)的直線分別與\(x\)軸，\(y\)軸的正向交於\(A,B\)兩點，則當\(\Delta OAB\)周長為最小值時，\(\Delta OAB\)的面積為　　　。
[解答]
作PC垂直OA於C，PD垂直OB於D
令\(\angle BAO=\theta \)
\(\begin{align}
  & PC=\frac{12}{5},PD=\frac{6}{5} \\
& AC+AP=\frac{12}{5}\times \left( \frac{1}{\tan \theta }+\frac{1}{\sin \theta } \right) \\
& BD+BP=\frac{6}{5}\times \left( \tan \theta +\frac{1}{\cos \theta } \right) \\
\end{align}\)
周長\(=\frac{12}{5}\times \left( \frac{1}{\tan \theta }+\frac{1}{\sin \theta } \right)+\frac{6}{5}\times \left( \tan \theta +\frac{1}{\cos \theta } \right)+\frac{18}{5}\)
令\(\tan \frac{\theta }{2}=t\ \left( 0<t<1 \right)\)
\(\begin{align}
  & \frac{12}{5}\times \left( \frac{1}{\tan \theta }+\frac{1}{\sin \theta } \right)+\frac{6}{5}\times \left( \tan \theta +\frac{1}{\cos \theta } \right)+\frac{18}{5} \\
& =\frac{12}{5}\times \left( \frac{1-{{t}^{2}}}{2t}+\frac{1+{{t}^{2}}}{2t} \right)+\frac{6}{5}\times \left( \frac{2t}{1-{{t}^{2}}}+\frac{1+{{t}^{2}}}{1-{{t}^{2}}} \right)+\frac{18}{5} \\
& =\frac{12}{5}\times \left( 1+\frac{1-t}{t} \right)+\frac{6}{5}\times \left( 1+\frac{2t}{1-t} \right)+\frac{18}{5} \\
& =\frac{12}{5}\left( \frac{1-t}{t}+\frac{t}{1-t} \right)+\frac{36}{5} \\
& \ge \frac{24}{5}+\frac{36}{5} \\
& =12 \\
\end{align}\)
等號成立於\(t=\frac{1}{2}\)
此時\(OA=3,OB=4,\Delta OAB=6\)