110成功高中代理

老師們好，想請教 5、6、7、11，謝謝！

1.
試求\((x-1)^{100}\)除以\((x-1)^3\)的餘式。

設\(x^5\)除以\((x-1)^3\)得餘式為\(g(x)\)，求\(g(2)\)之值=？
(98全國高中聯招，thepiano解題http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=10&t=1410)

2.
試將\(\displaystyle 1+cos \frac{2\pi}{7}+i sin\frac{2\pi}{7}\)化成極式。

若\(i=\sqrt{-1}\)，則\(z_1=cos32^{\circ}+i sin32^{\circ}+i\)的主幅角為\(\alpha\)，又\(\displaystyle z=cos\frac{2\pi}{7}+i sin\frac{2\pi}{7}\)，\(1-z\)的主幅角為\(\beta\)，求數對\((\alpha,\beta)\)。
(99家齊女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=958&page=4#pid22345)

3.
假設一袋中有18個白球，2個紅球，自袋中每次取出一球且取後不放回，直到取出所有紅球為止。令隨機變數\(X\)表示所取出的球數，試求\(X\)的期望值。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=587
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1441&page=3#pid7228

4.
設一袋中有編號由1到9的球共9顆，每次取出一球後放回袋中，取球\(n\)次，令\(P_n\)為此\(n\)個號碼和為偶數的機率，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}P_n\)的值。

不透明箱內有編號分別為1至9的九個球，每次隨機取出一個，紀錄其編號後放回箱內；以\(P(n)\)表示前\(n\)次取球的編號之總和為偶數的機率。求\(P(n)=\)？(以\(n\)表示)。
(99鳳新高中，thepiano解題http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=4089#p4089)

袋中有1,2,...,9號球各一個，每次自袋中取出一球，取後放回，共取n次，n次和為偶數的機率記為\( P_n \)，
求(1)\( P_{n+1} \)及\( P_n \)之關係式？　(2)\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n= \)？
(100鳳山高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1151&page=2#pid3949)

5.
若\(a,b,c\)為正數，證明\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}>\sqrt{c^2+a^2}\)。

任給正數\(x_1,x_2,\ldots,x_n\)；\(y_1,y_2,\ldots,y_n\)。證明下式成立；
\(\sqrt{(x_1+y_1)^2+(x_2+y_2)^2+\ldots+(x_n+y_n)^2}\le \sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}+\sqrt{y_1^2+y_2^2+\ldots+y_n^2}\)。
(99松山工農，https://math.pro/db/thread-965-1-1.html)

12.
108新課綱中，直線與圓移到高一上學期，試以高一同學的先備知識為基礎，證明：點\(P(s,t)\)到直線\(L\)：\(ax+by+c=0\)的距離\(\displaystyle d(P,L)=\frac{|\;as+bt+c|\;}{\sqrt{a^2+b^2}}\)。

尤其是新課綱的"圓與直線"單元在"向量"單元的前面,所以"不用"向量方式證明是考試重點)
Ellipse提示https://math.pro/db/thread-1915-1-1.html

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2765&page=2#pid17183
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3117&page=2#pid19653

7.
\(\vec{a},\vec{b}\)兩非零向量，\(|\;\vec{a}|\;=4\)，\(|\;\vec{a+2b}|\;=2\)，試求\(|\;\vec{2a+b}|\;+|\;\vec{b}|\;\)之最大值。
[解答]
由題目條件得:\(\displaystyle a\cdot b+|b|^2=-3\)
所求為\(\displaystyle \sqrt{64+4a\cdot b+|b|^2}+\sqrt{|b|^2}\)
改寫為\(\displaystyle \sqrt{52-3|b|^2}+\sqrt{|b|^2}\)

由柯西不等式可知所求\(\displaystyle \leq \sqrt{\frac{208}{3}}\)

2021.7.29補充 感謝three0124更正筆誤

6.
空間中有一四面體，6個稜長中有5個為6，1個為\(x\)，另一個體積相同的四面體，6個稜長中4個為6，2個為\(x\)，且兩個稜長為\(x\)的邊不相鄰，試求\(x\)之值為　　　。
[解答]
這題考試應該先被計算量搞死
底面都設定成邊長為6,6,x的三角形
因此可知兩個四面體的高是相同的
兩個四面體的高分別為\(\displaystyle 6\times \frac{\sqrt{27-\frac{x^2}{4}}}{\sqrt{36-\frac{x^2}{4}}}\)  , \(\displaystyle x \frac{\sqrt{36-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{36-\frac{x^2}{4}}}\)

接下來就是解方程式了 最後化簡成\(\displaystyle x^4-90x^2+1944=0\)
得\(\displaystyle (x^2-54)(x^2-36)=0\)
所以\(\displaystyle x=6 ,x=3\sqrt{6}\)
題目應該要補\(x\neq 6\)?

PS.這題應該是從107年全國數甲模考出來的 原題目的邊長是\(\sqrt{6}\)

5
兩邊平方就好了?
平方後得\(\displaystyle a^2+c^2+2b^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\)在\(a,b,c>0\)的條件下明顯大於\(a^2+c^2\)
只是感覺應該可以構造一個幾何例子來直接說明
還望各位前輩高手指點

5.
若\(a,b,c\)為正數，證明\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}>\sqrt{c^2+a^2}\)。
[解答]
利用三角形任意兩邊大於第三邊
三角形ABC中，AD為BC上的高，BD=a，CD=c，AD=b
AB=根號(a^2+b^2)，AC=根號(b^2+c^2)，BC=a+c
所以根號(a^2+b^2)+根號(c^2+b^2)>a+c=根號(a^2+2ac+c^2)>根號(a^2+c^2)
(因為a，b，c>0)
打太快打錯，感謝糾正，已更正

真夠巧妙 謝謝您的指點
另外您應該筆誤 CD=c才是?

假設O(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)
則AB= √(a²+b²)  , BC=√(b²+c²)  ,CA=√(c²+a²)
在△ABC中, 因為AB+BC>CA
所以√(a²+b²)+√(b²+c²) >√(c²+a²)

第11題
設正整數\(a,b,c\)滿足\((ab,c)=1\)，試證：方程式\(x^a+y^b=z^c\)有無窮多組正整數解。
[解答]
作法供參。

請問各位老師
此題老師解的48是否應該是52呢
另外柯西不等式我還是不知道怎麼用
再請老師解釋