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110成功高中代理

royan0837

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1^# 大中小發表於 2021-7-20 20:51 只看該作者

110成功高中代理

老師們好，想請教 5、6、7、11，謝謝！

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110成功高中代理.pdf (735.74 KB): 2021-7-20 20:51, 下載次數: 5938

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bugmens

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2^# 大中小發表於 2021-7-20 21:38 只看該作者

1.
試求(x−1)100除以(x−1)3的餘式。

設x5除以(x−1)3得餘式為g(x)，求g(2)之值=？
(98全國高中聯招，thepiano解題http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=10&t=1410)

2.
試將1+cos72

+isin72

化成極式。

若i=

−1 ，則z1=cos32

+isin32

+i的主幅角為

，又z=cos72

+isin72

，1−z的主幅角為

，求數對(

)。
(99家齊女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=958&page=4#pid22345)

3.
假設一袋中有18個白球，2個紅球，自袋中每次取出一球且取後不放回，直到取出所有紅球為止。令隨機變數X表示所取出的球數，試求X的期望值。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=587
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1441&page=3#pid7228

4.
設一袋中有編號由1到9的球共9顆，每次取出一球後放回袋中，取球n次，令Pn為此n個號碼和為偶數的機率，試求limn

Pn的值。

不透明箱內有編號分別為1至9的九個球，每次隨機取出一個，紀錄其編號後放回箱內；以P(n)表示前n次取球的編號之總和為偶數的機率。求P(n)=？(以n表示)。
(99鳳新高中，thepiano解題http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=4089#p4089)

袋中有1,2,...,9號球各一個，每次自袋中取出一球，取後放回，共取n次，n次和為偶數的機率記為Pn，
求(1)Pn+1及Pn之關係式？　(2)limn

Pn=？
(100鳳山高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1151&page=2#pid3949)

5.
若a

b

c為正數，證明

a2+b2+

b2+c2

c2+a2 。

任給正數x1

x2

xn；y1

y2

yn。證明下式成立；
\sqrt{(x_1+y_1)^2+(x_2+y_2)^2+\ldots+(x_n+y_n)^2}\le \sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}+\sqrt{y_1^2+y_2^2+\ldots+y_n^2}。
(99松山工農，https://math.pro/db/thread-965-1-1.html)

12.
108新課綱中，直線與圓移到高一上學期，試以高一同學的先備知識為基礎，證明：點P(s,t)到直線L：ax+by+c=0的距離\displaystyle d(P,L)=\frac{|\;as+bt+c|\;}{\sqrt{a^2+b^2}}。

尤其是新課綱的"圓與直線"單元在"向量"單元的前面,所以"不用"向量方式證明是考試重點)
Ellipse提示https://math.pro/db/thread-1915-1-1.html

https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2765&page=2#pid17183
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3117&page=2#pid19653

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satsuki931000

satsuki

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3^# 大中小發表於 2021-7-20 23:26 只看該作者

7.
\vec{a},\vec{b}兩非零向量，|\;\vec{a}|\;=4，|\;\vec{a+2b}|\;=2，試求|\;\vec{2a+b}|\;+|\;\vec{b}|\;之最大值。
[解答]
由題目條件得:\displaystyle a\cdot b+|b|^2=-3
所求為\displaystyle \sqrt{64+4a\cdot b+|b|^2}+\sqrt{|b|^2}
改寫為\displaystyle \sqrt{52-3|b|^2}+\sqrt{|b|^2}

由柯西不等式可知所求\displaystyle \leq \sqrt{\frac{208}{3}}

2021.7.29補充感謝three0124更正筆誤

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satsuki931000

satsuki

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4^# 大中小發表於 2021-7-21 00:13 只看該作者

6.
空間中有一四面體，6個稜長中有5個為6，1個為x，另一個體積相同的四面體，6個稜長中4個為6，2個為x，且兩個稜長為x的邊不相鄰，試求x之值為　　　。
[解答]
這題考試應該先被計算量搞死
底面都設定成邊長為6,6,x的三角形
因此可知兩個四面體的高是相同的
兩個四面體的高分別為\displaystyle 6\times \frac{\sqrt{27-\frac{x^2}{4}}}{\sqrt{36-\frac{x^2}{4}}} , \displaystyle x \frac{\sqrt{36-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{36-\frac{x^2}{4}}}

接下來就是解方程式了最後化簡成\displaystyle x^4-90x^2+1944=0
得\displaystyle (x^2-54)(x^2-36)=0
所以\displaystyle x=6 ,x=3\sqrt{6}
題目應該要補x\neq 6?

PS.這題應該是從107年全國數甲模考出來的原題目的邊長是\sqrt{6}

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satsuki931000

satsuki

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5^# 大中小發表於 2021-7-21 00:26 只看該作者

5
兩邊平方就好了?
平方後得\displaystyle a^2+c^2+2b^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}在a,b,c>0的條件下明顯大於a^2+c^2
只是感覺應該可以構造一個幾何例子來直接說明
還望各位前輩高手指點

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yi4012

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6^# 大中小發表於 2021-7-21 10:01 只看該作者

回復 5# satsuki931000 的帖子

5.
若a,b,c為正數，證明\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}>\sqrt{c^2+a^2}。
[解答]
利用三角形任意兩邊大於第三邊
三角形ABC中，AD為BC上的高，BD=a，CD=c，AD=b
AB=根號(a^2+b^2)，AC=根號(b^2+c^2)，BC=a+c
所以根號(a^2+b^2)+根號(c^2+b^2)>a+c=根號(a^2+2ac+c^2)>根號(a^2+c^2)
(因為a，b，c>0)
打太快打錯，感謝糾正，已更正

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satsuki931000

satsuki

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7^# 大中小發表於 2021-7-21 10:15 只看該作者

回復 6# yi4012 的帖子

真夠巧妙謝謝您的指點
另外您應該筆誤 CD=c才是?

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Ellipse

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8^# 大中小發表於 2021-7-21 12:50 只看該作者

引用:

原帖由 satsuki931000 於 2021-7-21 00:26 發表
5
兩邊平方就好了?
平方後得\displaystyle a^2+c^2+2b^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}在a,b,c>0的條件下明顯大於a^2+c^2
只是感覺應該可以構造一個幾何例子來直接說明
還望各位前輩高手指點 ...

假設O(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)
則AB= √(a²+b²) , BC=√(b²+c²) ,CA=√(c²+a²)
在△ABC中, 因為AB+BC>CA
所以√(a²+b²)+√(b²+c²) >√(c²+a²)

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Liu

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9^# 大中小發表於 2021-7-25 19:29 只看該作者

第11題
設正整數a,b,c滿足(ab,c)=1，試證：方程式x^a+y^b=z^c有無窮多組正整數解。
[解答]
作法供參。

附件

217993310_1728566943997812_973586487170932806_n.png (117.98 KB)

2021-7-25 19:29

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three0124

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10^# 大中小發表於 2021-7-29 19:57 只看該作者

回復 3# satsuki931000 的帖子

請問各位老師
此題老師解的48是否應該是52呢
另外柯西不等式我還是不知道怎麼用
再請老師解釋

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