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97附中第二次填第12題

ksjeng

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1^# 大中小發表於 2009-3-13 16:21 只看該作者

97附中第二次填第12題

模的題目
在密碼學中，對於英文，人們將26個字母按順序分別對應整數0到25。現有4個字母構成的
密碼單詞，記4個字母對應的數位分別為x(1),x(2),x(3),x(4)。已知：整數x(1)+2x(2),3x(2),x(3)+2x(4),3x(4)除以26的餘數分別為9，16，23，12，則密碼的單詞是？

註( )中的數字表示下標

此提示在考模的題目
答案是HOPE
很漂亮的題目
請問此題命題來源為何

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weiye

瑋岳

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2^# 大中小發表於 2009-3-13 17:33 只看該作者

引用:

原帖由 ksjeng 於 2009-3-13 04:21 PM 發表
模的題目
在密碼學中，對於英文，人們將26個字母按順序分別對應整數0到25。現有4個字母構成的
密碼單詞，記4個字母對應的數位分別為x(1),x(2),x(3),x(4)。已知：整數x(1)+2x(2),3x(2),x(3)+2x(4),3x(4)除以26的餘數分別為9，16，23，12，則密碼的單詞是？

註( )中的數字表示下標

此提示在考模的題目
答案是HOPE
很漂亮的題目
請問此題命題來源為何

已知

x1+2x2

9(mod26)

（1）

3x2

16(mod26)

（2）

x3+2x4

23(mod26)

（3）

x4

12(mod26)

（4）

先找尋 3 的乘法反元素，先找尋 3x+26y=1 的任何一組整數解，

（可以利用 3 跟 26 作輾轉相除法，或是尤拉法，或是直接聯想都可以）

解得 3

9+26

−1

=1 ，因此

3

9

1(mod26)

也就是找到了 (mod26) 的完全剩餘系統（complete residue system）中， 3 的乘法反元素是 9，

在（2）與（4）中，左右同時乘上 9，可得

27x2

144(mod26)　⇒　x2

14(mod26)

27x4

108(mod26)　⇒　x4

4(mod26)

再帶入在（1）與（3）中，可得

x1

9−2x2

−19

7(mod26)

且

x3

23−2x4

15(mod26)

因此，可得 x1

x2

x3

x4(mod26) 分別同餘到 7

14

15

4

也就是，對應到字母 h

o

p

e.

以上是利用整數論中的同餘，來解題的。

多喝水。

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ksjeng

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3^# 大中小發表於 2009-3-13 21:18 只看該作者

數論功力果然深厚
我是使用
若a≡b(mod m)則m|a-b的定理

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ksjeng

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4^# 大中小發表於 2009-5-21 23:53 只看該作者

97師大附中第二次

2.
平面上的格子點(x

y座標均為整數的點)到直線y=35x+54的距離中最小值為　　　。
請教如何解題

附件

97師大附中第二次.zip (70.87 KB): 2021-1-23 04:41, 下載次數: 8015

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ksjeng

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5^# 大中小發表於 2009-5-22 01:50 只看該作者

97師大附中第二次

我設法畫出梯形後就卡住了
題目的所求應改為線段BC=8吧?

在四邊形ABCD中，AD

BC，∠D=2∠B，AD=3，CD=5，則AD=8。

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weiye

瑋岳

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6^# 大中小發表於 2009-5-22 09:10 只看該作者

在四邊形 ABCD 中，AD

BC

D=2

B

AD=3

CD=5 ，則 AB＝？

或許題目寫錯了吧。 ^__^

多喝水。

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ksjeng

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7^# 大中小發表於 2009-5-23 08:10 只看該作者

老師好
經過您與亞斯老師的確認
都認為題目出錯了
我心中大石就可以放下了
謝謝您喔

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ksjeng

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8^# 大中小發表於 2009-5-23 08:22 只看該作者

經亞斯老師協助
使用ax+by=(a

b)時有整數解來解題
謝謝老師們無私的付出

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shingjay176

興傑

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9^# 大中小發表於 2014-5-2 08:47 只看該作者

回復 2# ksjeng 的帖子

這題目該如何下筆？寸絲講義的提示是5x−3y−4=0

剛剛算出來了。。晚點空堂，把答案貼上來。

附件

IMG_20140502_111907.JPG (179.82 KB)

2014-5-2 11:19

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tsusy

寸絲

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10^# 大中小發表於 2014-5-3 08:00 只看該作者

回復 3# shingjay176 的帖子

一個筆誤，我把常數項不小心寫錯了

應為 5x−3y+512=0，因 3,5 互質，可得 5x−3y 的取值範圍為所有整數

故所求 = 52

52+32=85

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