105台中一中科學班入學試題(第二階段)

如題
想請問填充 7  10  11
以及計算3 4

PS.計算3卡在第2小題搞不出來
也不知道怎麼利用(2)證明(3)
所以(3)我是用自己比較麻煩的方法算出的 還望各位先進幫忙

第 11 題
若x1x2x3x4x5皆為實數，且滿足x1x2+x1x3+x1x4+x1x5=−2x2x1+x2x3+x2x4+x2x5=−2x3x1+x3x2+x3x4+x3x5=−2x4x1+x4x2+x4x3+x4x5=−2x5x1+x5x2+x5x3+x5x4=−2，則x31+x32+x33+x34+x35之最大值為　　　。
[解答]
變數改成 a、b、c、d、e
ab + ac + ad + ae = -2
ba + bc + bd + be = -2
ca + cb + cd + ce = -2
da + db + dc + de = -2
ea + eb + ec + ed = -2

設 m = a + b + c + d + e
a(m - a) = -2
b(m - b) = -2
c(m - c) = -2
d(m - d) = -2
e(m - e) = -2

a(m - a) = b(m - b)
a = b 或 m = a + b，即 ab = -2

(1) 五數均不相等
則 ab = -2，bc = -2，a = c (不合)

(2) 五數均相等
則 4a^2 = -2 (不合)

(3) 恰有四數相等，令 b = c = d = e
則 4ab = -2，ab = -1/2 (不合)

(4) 有三數相等，令 c = d = e
則 ab + 3ac = -2，ab + 3bc = -2，a = b
a^2 + 3ac = -2，2ac + c^2 = -2
a^2 + 3ac = 2ac + 2c^2
a = -2c 或 a = c (不合)
4c^2 - 6c^2 = -2
c = 1 或 -1
a = -2 或 2
(a，b，c，d，e) = (2，2，-1，-1，-1) 或 (-2，-2，1，1，1)
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + e^3 = 13 或 -13

(5) 二同二同一異，令 a = b，c = d
a^2 + 2ac + ae = -2
2ac + c^2 + ce = -2
2ea + 2ec = -2
可求出 (a，b，c，d，e) = (1，1，-2，-2，1) 或 (-2，-2，1，1，1) 或 (2，2，-1，-1，-1) 或 (-1，-1，2，2，-1)
與 (4) 之解相同

已知ab均為質數且ab，
(1)若a3，證明2ab2a+2b+ab−310。
(2)若a2b−31b2a−31均為整數，證明2ab2a+2b+ab−31為整數。
(2)若a2b−31b2a−31均為整數，利用以上結果，求數對(ab)。
[解答]
第 3 - (2) 題
(2b - 31)/a + (2a - 31)/b
= (2b^2 - 31b + 2a^2 -31a)/(ab)
= [2(a + b)^2 - 4ab - 31(a + b)]/(ab)
= (a + b)(2a + 2b - 31)]/(ab) - 4
為整數

(a，b) = 1，(a + b，ab) = 1
故奇數 2a + 2b - 31 為 ab 之奇數倍
即 (2a + 2b + ab - 31)/(2ab) 為整數


第 3 - (3) 題
令 2a + 2b - 31 = kab，其中 k 是奇數
b = (2a - 31)/(ka - 2)
易知 k < 3

(1) k = 1
b = 2 - [27/(a - 2)]，無解

(2) k < 0
ka - 2 < 0，2a - 31 < 0
a = 2、3、5、7、11、13
檢驗可知僅 a = 3，b = 5 一解