96高雄中學

如附件
想請問8 12
附上小弟算的答案
1. 502
2.1,6,-2,-7
3.\(\displaystyle (-\frac{6}{5},0) \)
4.\(\displaystyle (\frac{-5}{2},\frac{9}{2}),(\frac{5}{2},\frac{-1}{2}) \)
5.3
6.1
7.(6,1,19,5)
8.\(4\sqrt{2} \)
9.\(\displaystyle\frac{25}{3} \)
10.198
11.1
13.直角三角形 或是 等腰三角形

第8題
已知\(P\)為圖形\(y=\sqrt{x^2+2}\)上一點，令\(A,B\)兩點坐標分別為\((2,0)\)或\((0,-2)\)，求\(\overline{PA}+\overline{PB}\)之最小值。
[解答]
\( y = \sqrt{x^2 + 2} \)為雙曲線\( \frac{y^2}{2} - \frac{x^2}{2} = 1 \)的一支，焦點\( F_{1} (0,2) \; , \; F_{2} (0,-2) = B \)

由雙曲線定義可知：\( \overline{PB} - \overline{PF_{1}} = 2a = 2\sqrt{2} \)

\( \overline{PA} + \overline{PB} = \overline{PA} + \overline{PF_{1}} + 2\sqrt{2} \geq \overline{AF_{1}} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \)。

阿
沒發現是雙曲線
謝謝您的指點

12.
設\(a,b,c\)為三相異之整數，試證：不存在一整係數多項式\(f(x)\)同時滿足\(f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a\)。
[解答]
引理：設 \( y, z \) 為兩相異整數，若 \( f(x) \) 為整係數多項式，則 \( y-z \mid f(y) - f(z) \)
說明：透過 \( y^n - z^n \) 的因式分解，可證明引理。

歸謬地假設，存在整係數多項式 \( f(x) \) 滿足 \( f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a \)。

由引理得 \( b-a\mid c-b,  c-b\mid a-c,  a-c\mid b-a \)

由以上整除關係可得 \( b-a, c-b, a-c \) 為三個互相整除之非 0 整數

因此 \( |b-a| = |c-b| = |a-c| \)，因 \( a,b,c 相異 \)，討論絕對值的等式可得

\( b-a = c-b = a-c \)，又 \( (b-a) + (c-b) + (a-c) = 0\)

因此 \( 0=b-a = c-b = a-c \)，與 \( a,b,c 相異 \) 矛盾。

故假設錯誤，而不存在整係數多項式 \( f(x) \) 滿足 \( f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a \)

謝謝寸斯老師