110嘉義高中

如附件

答案有完整解答
8.
設數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)滿足\(a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_n+1\)且\(a_0=1\)、\(a_1=2\)，求\(a_{50}\)。

10.
設拋物線\(\Gamma\)：\(y=x^2+x+1\)，由\(A(1,-2)\)作\(\Gamma\)的兩條切線得切點\(B\)和\(C\)，求\(\Delta ABC\)的面積。

求過\(\displaystyle P(\frac{3}{2},3)\)而與拋物線\(\tau\)：\(y=-x^2+4x-3\)相切的二切線與拋物線\(\tau\)所圍區域的面積為　　　。
(98彰化女中，老王解題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=2#pid1331)

8.
設數列\(\langle\;a_n \rangle\;\)滿足\(a_{n+2}=2a_{n+1}+3a_n+1\)且\(a_0=1\)、\(a_1=2\)，求\(a_{50}\)。
[解答]
同加\(a_{n+1}\)，再令\(b_n=a_{n+1}+a_n\)
可得\(b_{n+1}=3b_n+1.b_0=3\)，解遞迴\(\displaystyle b_n=a_{n+1}+a_n=3^n \cdot \frac{7}{2}-\frac{1}{2}\)

由\(\displaystyle a_{n+1}+a_n=3^n \cdot \frac{7}{2}-\frac{1}{2},a_{n+2}+a_{n+1}=3^{n+1} \cdot \frac{7}{2}-\frac{1}{2}\)

得知\(\displaystyle a_{n+2}-a_n=7\cdot 3^n\)

所以\(\displaystyle a_{50}=\frac{9^{25}-1}{8}\cdot 7+1\)

3.
設\(a\)、\(b\)、\(c\)為正實數且滿足\(a+b^2+c^3=11\)，求\(abc\)的最大值。
[解答]
算幾不等式
原式: \(\displaystyle \frac{\frac{a}{6}\cdot 6+\frac{b^2}{3}\cdot3 +\frac{c^3}{2}\cdot 2}{11} \geq \sqrt[11]{\frac{(abc)^6}{2^8\cdot 3^9}}\)

可得\(\displaystyle abc\leq 6 \sqrt[6]{108}\)
等號成立在\(a=6 , b=\sqrt{3},  c=\sqrt[3]{2}\)

計算二
票箱中有甲、乙兩人的選票分別為\(m\)張和\(n\)張且\(m>n\)。令\(P_{m,n}\)表示開票的過程中甲的選票會一路領先乙的選票的機率，回答以下的問題：
(1)計算\(P_{m,1}\)和\(P_{m,2}\)
(2)證明\(\displaystyle P_{m,n}=\frac{m}{m+n}P_{m-1,n}+\frac{n}{m+n}P_{m,n-1}\)
(3)先猜測\(P_{m,n}\)的答案，再利用(2)使用歸納法證明你的猜測。
[解答]
有點導果為因 不知道這樣寫可不可以
甲m票，乙n票，且甲一路領先乙(不能平手)的方法數為\(\displaystyle C^{m+n-1}_{m-1}-C^{m+n-1}_m\)
所以易知
(1)\(\displaystyle P_{m,1}=\frac{m-1}{m+1},P_{m,2}=\frac{m-2}{m+2}\)
(2)直接把該結論砸下去遞迴式驗證
(3)數學歸納法

當\(n=1\)的時候，成立
設\(n=k\)的時候，\(\displaystyle P_{m,n}=\frac{m-k}{m+k}\)成立
則當\(n=k+1\)時

\(\displaystyle P_{m.k+1}=\frac{m}{m+k-1}\cdot \frac{m-1-k}{m-1+k}+\frac{k+1}{m+k+1}\cdot \frac{m-k+1}{m+k-1}=\frac{m-k-1}{m+k+1}\)

想請問第2題有沒有組合解釋的方法

甲 m 票，乙 n 票，且甲一路領先乙(不能平手)的方法數
應是 C(m + n - 1，m - 1) - C(m + n - 1，m)

其實看第 2 小題長那樣，就是暗示您用遞迴去解釋，只是不能分成第 1 票是甲或乙去討論，而是最後 1 票。
用上面的方法數公式去算第 2 小題，計算量太大，時間會不夠。
至於組合的方法，小弟覺得湊不出那樣的遞迴式

謝謝鋼琴老師提醒
第一題沒注意到打錯了...

總覺得這題的證明反而繞了一圈且不直觀
自己認為應該直接證明:以下是我自己在證明伯特朗選票問題的方法
[pf]
在此令Q(m,n)為過程中甲的票">或="乙的票的機率
Q(m-1,n)=1-C(m+n-1,m)/C(m+n-1,m-1)=(m-n)/m
所求P(m,n)=m/(m+n)*Q(m-1,n)=(m-n)/(m+n)

感覺遞迴證明既不直觀亦感覺有點繞了一圈,但以上僅為小弟的淺見!
(註)另外我有查過不少資料,除了維基百科,其他的證明幾乎都是不用遞迴跟數學歸納法來猜証