93台大物理

larson

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1^# 大中小發表於 2019-12-4 15:33 只看該作者

93台大物理

\(a_1=1\)，\(\displaystyle a_{n+1}=a_n+\sqrt{a_n}+\frac{1}{4}\)，求\(a_9,a_{99},a_{999}\)？
請問一般項？

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yi4012

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2^# 大中小發表於 2019-12-4 16:06 只看該作者

回復 1# larson 的帖子

A1=1帶可得：A2=9/4，A3=4=16/4，A4=25/4
以此推斷AN=(N+1)^2/4
可用代入推出，此樹成立
所以A9=100/4=25
A99=10000/4=2500
A999=1000000/4=250000
另解：
不難發現AN+1=(根號AN+1/2)^2
A1=K^2，所以AN+1=(K+1/2)^2

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larson

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3^# 大中小發表於 2019-12-4 19:03 只看該作者

回復 2# yi4012 的帖子

謝謝

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laylay

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4^# 大中小發表於 2019-12-4 19:36 只看該作者

回復 1# larson 的帖子

令 bn=根號(an) >=0
則 b(n+1)^2=bn^2+bn+1/4=(bn+1/2)^2 , => b(n+1)= bn+1/2 ,
bn 為首項 1 , 公差 1/2 的數列
因此 bn=(n+1)/2 , an=bn^2=(n+1)^2/4

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Harris

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5^# 大中小發表於 2019-12-9 13:40 只看該作者

回復 1# larson 的帖子

以前的高中數學101，
第十四回數列級數(三)範例2可以參考看看

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