橢圓內三角形面積

Exponential

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1^# 大中小發表於 2019-10-18 08:44 只看該作者

橢圓內三角形面積

點\(M(2,1)\)為橢圓\(C\)上的一點，橢圓的兩個焦點其坐標分別為\((-\sqrt{6},0)\)和\((\sqrt{6},0)\)。\(O\)為原點，直線\(L\)平行於\(OM\)並交橢圓\(C\)於不同的兩點\(A,B\)。\(\Delta OAB\)面積的最大值。

請教最後三角形oab的面積為何是1／2*m*(x1-x2)?

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IMG20191006101858.jpg (1.62 MB)

2019-10-18 08:44

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年獸

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2^# 大中小發表於 2019-10-18 09:20 只看該作者

回復 1# Exponential 的帖子

引用題目的符號，看起來是以原點跟線上兩點形成的三角形面積公式，感覺上應該有更好的看法。

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Exponential

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3^# 大中小發表於 2019-10-18 12:45 只看該作者

回覆年獸

謝謝

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lyingheart

萊因哈特

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4^# 大中小發表於 2019-10-18 18:27 只看該作者

我想說我怎麼算答案都是2，為何他的答案是4，原來他最後一步錯了。

你就做出半徑為 \( a \) 的圓，就是 \( x^2+y^2=8 \)。
然後問題就變成在這圓上找兩點A，B使得三角形OAB面積最大，就是在OA跟OB垂直的時候，
再伸縮回橢圓上，所以最大面積就是 \(\displaystyle \frac{1}{2} \times 8 \times \frac{\sqrt2}{2\sqrt2}=2 \)

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tsusy

寸絲

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5^# 大中小發表於 2019-10-19 11:46 只看該作者

回復 1# Exponential 的帖子

令 \( C \) 為 \( \overline{AB} \) 和 \( y \) 軸的交點，則有

面積 \( \Delta OAB = \Delta OAC + \Delta OBC \)

以 \( \overline{OC} \) 為底，計算上式右邊的兩三角形面積

即可得 \( \Delta OAB = \frac 12 |m||x_1-x_2| \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2019-11-1 21:39 編輯 ]

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