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計算第 2 題
設f(x)=-x^3+ax^2+bx+c(a,b,c \in R)，當x<0時f(x)為嚴格遞減函數，0<x<1時f(x)為嚴格遞增函數，且f(x)=0有三個實根，1為其中一個實根。
(1)求f(2)的範圍。
(2)試就a值討論直線L：y=x-1與曲線y=f(x)交點的個數。
\begin{align}
& f(x)=-{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c \\
& f'(x)=-3{{x}^{2}}+2ax+b \\
\end{align}
f\left( x \right)在\left( -\infty ,0 \right)嚴格遞減，在\left( 0,1 \right)嚴格遞增，f\left( 1 \right)=0
\begin{align}
& f'\left( 0 \right)=0,b=0 \\
& f'\left( 1 \right)=-3+2a+b>0,a>\frac{3}{2} \\
& f\left( 1 \right)=-1+a+b+c=0,c=1-a \\
& \\
& f\left( 2 \right)=-8+4a+2b+c=3a-7>-\frac{5}{2} \\
& \\
& f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+1-a \\
\end{align}
第 (2) 小題就討論-{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}-x+2-a=\left( x-1 \right)\left[ -{{x}^{2}}+\left( a-1 \right)x+\left( a-2 \right) \right]=0之實根個數，就不做了
不過要注意 a = 2 時，有三實根(含兩重根)，但交點數只有 2 個
[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-13 18:43 編輯 ]
