103陽明高中

　

請教填充1，2題

1.
設向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)滿足\(|\;\vec{a}|\;=|\;\vec{b}|\;=3\)，\(\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}\)，且\(\vec{a}-\vec{c}\)與\(\vec{b}-\vec{c}\)的夾角為\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)，則\(|\;\vec{c}|\;\)的最大值為　　　。
[解答]
|a|=|b|=1  向量c最長時會落在向量a和向量b的角平分線上，這時候再使用正弦定理解之
2.
已知\(0<\theta<\pi\)，若方程式\(x^2-4xcos2\theta+2=0\)的一個實根與方程式\(2x^2+4xsin2\theta+1=0\)的一個實根互為倒數，則\(\theta=\)　　　。
[解答]
令P為第一個方程式的根  1/p為第二方程式的根  兩式相減然後疊合，就可以解角度了
最後想請教一下為什麼我拍照的圖檔好大喔，所以我不敢放上去，要怎麼解決
請教填充4 and  7

題充第一題可以寫詳細嗎！謝謝！

填充 1.
設向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)滿足\(|\;\vec{a}|\;=|\;\vec{b}|\;=3\)，\(\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}\)，且\(\vec{a}-\vec{c}\)與\(\vec{b}-\vec{c}\)的夾角為\(\displaystyle \frac{\pi}{3}\)，則\(|\;\vec{c}|\;\)的最大值為　　　。
[解答]
圖長這樣，


\( \vec{a} = \vec{PA}, \vec{b} = \vec{PB}, \vec{c} = \vec{PC} \) 兩圓的圓心 \( O, O' \)，滿足 \( \angle AOB = \angle AO'B = 120^\circ \) (這樣向量 \( \vec{CA}, \vec{CB} \) 夾 \( 60^\circ \) )

當 \( C = C'' \) 是最小值，\( C = C' \) 時，有最大值。

令 \( \theta = \frac12 \angle APB \)，則所求最大值 \(= 3 \cos \theta + 3 \sin \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 3  = \frac{\sqrt{19} + \sqrt{51}}{2} \)

填充7：
已知函數\(f(x)=|\;cos x|\;\)的圖像與直線\(y=kx(k>0)\)恰有兩個交點，其中交點的橫坐標的最大值為\(\alpha\)，求\(\displaystyle \frac{sin\alpha}{cos3\alpha-cos\alpha}=\)　　　(以\(\alpha\)表示)。
[解答]
畫圖知交於兩點時剛好有相切之關係, \(\displaystyle \alpha \in \left( \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right),\left| \cos \alpha  \right|=-\cos \alpha \)
由切線斜率相等可推知\(\displaystyle \frac{-\cos \alpha }{\alpha }={{\left. \frac{d}{dx}\left( -\cos x \right) \right|}_{x=\alpha }}=\sin \alpha \Rightarrow \tan \alpha =-\frac{1}{\alpha }\)
所求可化簡為\(\displaystyle \frac{1}{-2\sin 2\alpha }=\frac{1+{{\tan }^{2}}\alpha }{-4\tan a}=\frac{{{\alpha }^{2}}+1}{4\alpha }\)

填充4：
若\(P(x,y)\)與\(Q(m,n)\)是關於直線\(y=2x-1\)對稱的兩點，將\(Q(m,n)\)繞原點旋轉\(60^{\circ}\)，又得到\(R(X,Y)\)。假設將\(P\)變換到\(R\)可用矩陣\(\left[\matrix{X\cr Y}\right]=\left[\matrix{a&b\cr c&d} \right]\left[\matrix{x\cr y} \right]+\left[\matrix{\alpha \cr \beta} \right]\)表示，則矩陣\(\left[\matrix{\alpha \cr \beta}\right]=\)　　　。
[解答]
想法如下：
先考慮\(P\)到直線\(y=2x\)之對稱點P’(x',y'), 然後再經過平移到\(Q\)
畫圖可推知 \(Q=P'+t\left( 2,-1 \right),t\in {{R}^{+}}\) , 解 \(\left| Q-P' \right|=\left| \overrightarrow{P'Q} \right|=t\left| \left( 2,-1 \right) \right|=2d=\frac{2}{\sqrt{5}}\Rightarrow t=\frac{2}{5}\)  
其中 d 為 y=2x 與 y=2x-1 之距離, 所以我們得到關係式
\(\left( \begin{matrix}
   m  \\
   n  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   x'  \\
   y'  \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}
   \frac{4}{5}  \\
   -\frac{2}{5}  \\
\end{matrix} \right)\) , 再透過旋轉與線性關係，
\(\left( \begin{matrix}
   \alpha   \\
   \beta   \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   \cos 60{}^\circ  & -\sin 60{}^\circ   \\
   \sin 60{}^\circ  & \cos 60{}^\circ   \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
   \frac{4}{5}  \\
   \frac{-2}{5}  \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
   \frac{2+\sqrt{3}}{5}  \\
   \frac{2\sqrt{3}-1}{5}  \\
\end{matrix} \right)\)
依樣錯誤或怪怪的地方再麻煩偵錯一下，感恩

請教計算2 和3題  謝謝

計算2：
只由三個字母\(a,b,c\)所組成長度為\(n\)的字串在通訊管道上傳輸，要求在傳輸中不可以有兩個\(a\)連續出現在任一字串中。令\(a_n\)是長度為\(n\)的字串時，傳輸中的字串個數，則：
(1)求\(a_1\)、\(a_2\)、\(a_3\)之值。
(2)寫出\(a_n\)的遞迴式。
(3)求\(a_n\)的一般式。
[解答]
(1) a(1)=3 , a(2)=8, a(3) =22
(2)  考慮a(n)：
      若第一個字母為a, 則第2個字母為b或c, 方法數2*a(n-2)
      若第一個字母為b或c,  方法數2*a(n-1)
      故 a(n)=2( a(n-1) + a(n-2) )

計算3：
已知實係數多項式\(f(x)\)滿足\(f(x^2)=f(x+1)f(x-1)\)，證明方程式\(f(x)=0\)無實根。
[解答]
反證法：
假設\(f\left( x \right)=0\) 存在實根\({{a}_{1}}\), 不失一般性，令\({{a}_{1}}>0\)
則\(f\left( {{\left( {{a}_{1}}+1 \right)}^{2}} \right)=f\left( {{a}_{1}}+2 \right)f\left( {{a}_{1}} \right)=0\), \({{\left( {{a}_{1}}+1 \right)}^{2}}\)亦為\(f\left( x \right)=0\)的實根，令為\({{a}_{2}}\)
考慮\({{a}_{k}}={{\left( {{a}_{k-1}}+1 \right)}^{2}},k\ge 2\), 則我們得到一個嚴格遞增的正實數數列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)滿足
\(f\left( {{a}_{k}} \right)=0,k\in \mathbb{N}\), 故此多項式方程式的根為無限個，矛盾。

填充二
已知\(0<\theta<\pi\)，若方程式\(x^2-4xcos2\theta+2=0\)的一個實根與方程式\(2x^2+4xsin2\theta+1=0\)的一個實根互為倒數，則\(\theta=\)　　　。
[解答]
假設第一個方程式的兩根為 \( p,q \)
那麼 \(\displaystyle p+q=4\cos{2\theta},pq=-2 \)
第二個方程式兩根為 \( \frac{1}{p},r \)
那麼  \(\displaystyle  \frac{1}{p}+r=-2\sin{2\theta}, \frac{r}{p}=-\frac{1}{2} \)

於是  \(\displaystyle qr=1 \)

\(\displaystyle  \frac{1}{p}+r= \frac{1}{p}+ \frac{1}{q}= \frac{p+q}{pq}=\frac{4\cos{2\theta}}{-2}=-2\sin{2\theta} \)

\(\displaystyle \tan{2\theta}=-1 \)

請各位幫忙，謝謝