南一中數理資優109複試第2次

好久沒來了
手寫解答請各路老師校正一下

4.
108109110143144，將這些數連寫成自然數N，即N=108109110143144，試證N為666之倍數
[解答]
最後一題
淺見分享一下

改寫N=10810108+10910105++143103+144
證明N可被2 9 37 整除即可

顯而易見N為2倍數。9的倍數也容易推得
注意10001(mod37)
所以N108+109++1440(mod37)

其實就是樓主寫的3個位數一組 但我沒有那個概念 都是用這個推的wwww

計算3
在ABC中，BC=3AB，BD平分ABC ，交AC於D，過C做CE垂直BD之延長線於E，試證明BD=DE。
[解答]
幾何弱到掉渣 所以提供暴力代數解
設DE=xCE=y
令AB=cBC=3cAC=b
易知BD=3c2−316b2 

由畢氏定理得
x2+y2=916b2，(x+3c2−316b2)2+y2=9c2 

接下來就是整理

316b2−3c2=−3c2−316b2 x 
x=3c2−316b2=BD 

第6題
小明發明了一個數線跳棋遊戲,首先將棋子放在原點，然後依序寫出 a1a2a10等10個相異的整數，接著計算a2－a1的值，並依照計算出來的值移動棋子（例如"+3"就往右移動3單位，"−2"就往左移動2單位）。接下來計算a3−a2的值並移動棋子，依序計算並移動an+1−an的值，直到移動完a10−a9的值為止。已知小明隨意將1~10的10個整數填入a_1,a_2,\ldots \ldots,a_{10}，整個遊戲移動過程中只有轉向一次，最後停在數線上標示為"2"的位置，請問小明將1~10的10個整數填入a_1,a_2,\ldots \ldots,a_{10}的方法有　　　種。(例如：a_1,a_2,\ldots \ldots,a_{10} 依序為1,2,6,8,10,9,7,5,4,3其移動過程為+1,+4,+2,+2,-1,-2,-2,-1,-1，只轉向一次，最後停在"2"的位置)
[解答]
這題我也不確定
但想法是這樣

只需考慮頭尾為(1，3) (8，10)的情形
(1，3)的情況:2必排1的後面一位， 將4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 ，10分堆，每一種分堆可以有兩種不同的排列方式

例如:
(5,7) (4,6,8,9,10)  所得排列情形有: 1,2,(5,7),(10,9,8,6,4),3 或者 1,2,(4,6,8,9,10),(7,5),3
(4,7,8)(5,6,9,10)  所得排列情形有: 1,2,(4,7,8)(10,9,6,5),3  或者 1,2,(5,6,9,10),(8,7,4).3

但是如果一次全拿的話 只有1,2,(4,5,6,7,8,9,10),3 這個組合

所以此情形共有\displaystyle C^7_0+2(C^7_1+C^7_2+C^7_3)=127

同理(8，10)的情況:9必排在10的前面 之後的情況和(1,3)相同也是127種
所以答案為254

以上淺見不知道是否有錯誤 單純和樓主答案想法不同
丟上來討論看看

這樣重複計算
例如
1,2,(5,7),(10,9,8,6,4),3
1,2,(5,7,10),(9,8,6,4),3

感謝提點
還真的沒注意到