函數

誤刪林子豪網友所提問和其他網友回覆的文章，僅救回部分回覆，特此致歉。

筆試一
二、
設\(n\)為正整數。令\(p(n)\)，\(q(n)\)分別表示\(n\)的各位數字的和與乘積。例如\(p(9527)=9+5+2+7=23\)，\(q(9527)=9\times 5 \times 2 \times 7=630\)。
1.已知\(p(n)=4n-12\)。試求\(n\)的所有可能的值。
2.已知\(q(n)=n^2-9n-49\)。試求\(n\)的所有可能的值。

三、
已知數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)各項皆為正數，\(a_1=1\)，且\(n \ge 2\)時滿足\(a_{n-1}-a_n=a_{n}a_{n-1}(a_n+a_{n-1})\)試求\(a_n\)的一般項公式。

五、
設複數\(z_1,z_2,z_3\)為實係數多項式\(P(z)=z^3+qz+r\)的三個根，且滿足\(|\;z_1|\;^2+|\;z_2 |\;^2+|\;z_ 2|\;^2=100.\)已知在複數平面上，\(z_1,z_2,z_3\)所對應的三個點恰為一直角三角形的三頂點。試求此直角三角形的斜邊長。

筆試二
四、
已知\(g(x)=x^4-(a+3)x^3+(3a+7)x^2-(7a+5)x+5a\)為實係數多項式，若\(g(1+2i)=0\)，則方程式\(g(x)=0\)的解為。

筆試一
二、
設\(n\)為正整數。令\(p(n)\)，\(q(n)\)分別表示\(n\)的各位數字的和與乘積。例如\(p(9527)=9+5+2+7=23\)，\(q(9527)=9\times 5 \times 2 \times 7=630\)。
1.已知\(p(n)=4n-12\)。試求\(n\)的所有可能的值。
2.已知\(q(n)=n^2-9n-49\)。試求\(n\)的所有可能的值。
satsuki931000網友回覆


三、
已知數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)各項皆為正數，\(a_1=1\)，且\(n \ge 2\)時滿足\(a_{n-1}-a_n=a_{n}a_{n-1}(a_n+a_{n-1})\)試求\(a_n\)的一般項公式。
satsuki931000網友回覆
n=2，3代入看看
n=2時，其值為根號2 - 1
n=3時，其值為根號3 - 根號2
可猜測其一般式An為根號n- 根號n-1

再用數學歸納證明之 即可


cefepime網友回覆
另解:
兩側同除以 an*an₋₁，累加得 1/ an = Sn + Sn₋₁; 又  an = Sn - Sn₋₁，相乘易得 Sn = √n。
從而 an =  √n - √(n-1)。