一題不等式

請問如何解這題不等式。
設\(x+y+z=0\)，求證：\(6(x^3+y^3+z^3)^2 \le (x^2+y^2+z^2)^3\)。

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圖中 (xy+2z^2) =z^2-(x+y)z+xy=(z-x)(z-y)
=>右式-左式=2[(x-y)(y-z)(z-x)]^2>=0 故得證,等號成立於兩變數相等時

這題要講x,y,z為實數,其實這個不等式最後可以轉換成三次方程式(缺二次項)的判別式!

\(x+y+z=0\)
若\(x=y=z=0\)，不等式成立
若\(x,y,z\)不全為\(0\)，則三者中至少有一正一負
不失一般性，令\(y>0,z<0\)
\(\begin{align}
  & \left( x+y+z \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xy-yz-zx \right)=0 \\
& {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}=3xyz \\
&  \\
& 6{{\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}} \right)}^{2}} \\
& =6{{\left( 3xyz \right)}^{2}} \\
& =27\times 2{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}} \\
& \le 27\times {{\left( \frac{2{{x}^{2}}+\left| yz \right|+\left| yz \right|}{3} \right)}^{3}} \\
& ={{\left( 2{{x}^{2}}+2\left| yz \right| \right)}^{3}} \\
& ={{\left[ {{x}^{2}}+{{\left( -x \right)}^{2}}+2\left| yz \right| \right]}^{3}} \\
& ={{\left[ {{x}^{2}}+{{\left( y+z \right)}^{2}}-2yz \right]}^{3}} \\
& ={{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{3}} \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2018-7-4 21:52 編輯 ]

大家都好強
謝謝各位的回覆