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102文華高中

weiye

瑋岳

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1^# 大中小發表於 2013-4-27 19:08 只看該作者

102文華高中

試題及答案，如附件。

計算題：
（資料來源：http://www.ptt.cc/bbs/studyteacher/M.1367072177.A.40A.html ）

1.平面上有三定點ABC及一圓，其圓心為O點，半徑為r，
  若AOBC為平行四邊形，其中直線AB與圓不相交，若圓
  上有一點P，使得(線段PA)^2+(線段PB)^2為最小時，
  (1)試證：P點為OC與圓的交點
  (2)試利用OA、OB、OC、r來表示(線段PA)^2+(線段PB)^2的最小值

2.橢圓的焦點為AC兩點、橢圓上有BD兩點
  其中四邊形ABCD的四個邊長乘積為2013
  且BAD=60度，BCD=120度，求ABCD面積

附件

102文華高中_試題.pdf (227.3 KB): 2013-4-27 19:08, 下載次數: 21020

102文華高中_答案.pdf (101.47 KB): 2013-4-27 19:08, 下載次數: 17476

多喝水。

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bugmens

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2^# 大中小發表於 2013-4-27 20:08 只看該作者

2.
求下列的級數和：1

2+(1

2+2

3)+(1

2+2

3+3

4)+

+(1

2+2

3+3

4+

+(n−1)

n)

類題
1+2(1+3)+3(1+3+6)+4(1+3+6+10)+

+17(1+3+6+

+153)=？
(101中正高中二招，https://math.pro/db/thread-1446-1-1.html)

因為102文華高中這題問的是一般項，用差分來算的話最後會得到a

C0n+b

C1n+c

C2n+d

C3n+e

C4n，整理答案時因式分解反而又變得更麻煩

11.
設f(a

b)=(61−a−28b)2+(62−a−29b)2+(60−a−30b)2+(58−a−31b)2+(59−a−32b)2，當f(a

b)有最小值時，求此時數對(a

b)=？
[解答]
對f(a

b)的a偏微分得
2(61−a−28b)(−1)+2(62−a−29b)(−1)+2(60−a−30b)(−1)+2(58−a−31b)(−1)+2(59−a−32b)(−1)
=−2[(58+59+60+61+62)−5a−(28+29+30+31+32)b]
=−2(300−5a−150b)=−10(60−a−30b)=0
得a=60−30b代入原式
(61−60+30b−28b)2+(62−60+30b−29b)2+(60−60+30b−30b)2+(58−60+30b−31b)2+(59−60+30b−32b)2
=(1+2b)2+(2+b)2+(−2−b)2+(−1−2b)2
=10b2+16b+10=10(b+54)2+518
當b=−54，a=60−30

5−4=84時，f(a

b)有最小值

類題
Find the minimum value of 2x2+2y2+5z2−2xy−4yz−4x−2z+15 for real numbers x, y, z.
(USA Stanford Mathematics Tournament 2006，http://www.artofproblemsolving.c ... d=166&year=2006)

這題可以湊成完全平方式求得最小值，假若一時之間看不出來該怎麼湊的話
分別對x,y,z作偏微分，三個式子解出來的x,y,z就會讓原式有最小值
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=709&page=2#pid1924

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weiye

瑋岳

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3^# 大中小發表於 2013-4-27 21:01 只看該作者

回復 2# bugmens 的帖子

第 11 題：（應該可以看得出來題目中的 f(a

b) 就是用最小平方法求迴歸直線時的「殘差平方和」）

五個數據 (xi

yi)為(28

61)

(29

62)

(30

60)

(31

58)

(32

59) 以最小平方法所得之迴歸直線 y=a+bx

此迴歸直線必通過 (x

y)=(30

60)

且斜率為

5i=1

xi−x

2

5i=1

xi−x

yi−y

=22+12+02+12+22(−2)

1+(−1)

2+0

0+1

(−2)+2

(−1)=5−4

因此，此迴歸直線方程式為 y−60=5−4

x−30

y=84−54

(a

b)=(84

−54)

註：另外一個求迴歸直線 a+bx=y 的公式

ni=11

a+

ni=1xi

b=yi

ni=11

xi

a+

ni=1xi

xi

b=yi

xi 如下篇回覆被寸絲給解走了～ＸＤＤ

多喝水。

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tsusy

寸絲

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4^# 大中小發表於 2013-4-27 21:05 只看該作者

回復 2# bugmens 的帖子

11. 偏微分被先用了，那就來個另解

令 A=

111112829303132

b=[61 62 6 58 59]T

x=[a b]T

則 ATAx=ATb，其中 AT 為 A 的轉置

透過平方公式 (30+k)2 和分配律 (30+k)(60+l) ，計算上式之矩陣乘法得

\begin{bmatrix}5 & 150\\ 150 & 4510 \end{bmatrix}x=\begin{bmatrix}300\\ 8992 \end{bmatrix} 易解得 x = [84 -0.8]^T

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natureling

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5^# 大中小發表於 2013-4-27 21:27 只看該作者

想先請教5，7，9，13，

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lyingheart

萊因哈特

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6^# 大中小發表於 2013-4-27 21:38 只看該作者

回復 5# natureling 的帖子

第5題
因為x,y,z最多為三位數，所以a的可能值與(x,y,z)解的個數相同
\displaystyle 360=2^3 \times 3^2 \times 5
每個質因數必須有人取到最高次，所以是
\displaystyle (4^3-3^3)(3^3-2^3)(2^3-1^3)=4921

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weiye

瑋岳

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7^# 大中小發表於 2013-4-27 21:39 只看該作者

回復 5# natureling 的帖子

第 5 題：

因為 x,y,z 的最小公倍數為 360，

所以可以知道 x,y,z 三數皆頂多為三位數，

因此 a 的可能值個數與有序數組 (x,y,z) 的可能組數一樣多。

360=2^3\cdot3^2\cdot5

先來研究 2^3 的可能分布情形，x,y,z 中至少有一個數恰含 2^3 的因數（其他數中 2 的次方數皆小於或等於 3），

因此 2^3 這個因數的分配可能有 C^3_1\cdot (3+1)^2-C^3_2\cdot(3+1)+C^3_3 = 37 種

同理，3^2 這個因數的分配可能有 C^3_1\cdot (2+1)^2-C^3_2\cdot(2+1)+C^3_3 = 19 種

　　　5^1 這個因數的分配可能有 C^3_1\cdot (1+1)^2-C^3_2\cdot(1+1)+C^3_3 = 7 種

所以，滿足條件的有序數組 (x,y,z) 有 37\times19\times7=4921 組數，

即 a 的可能值個數有 4921 個。

多喝水。

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lyingheart

萊因哈特

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8^# 大中小發表於 2013-4-27 21:42 只看該作者

回復 5# natureling 的帖子

第7題
令 a,b,c,d,e,p 分別表示A,B,C,D,E,P所代表的複數
\displaystyle z^5-i=(z-a)(z-b)(z-c)(z-d)(z-e)
所求為
\displaystyle |p-a||p-b||p-c||p-d||p-e|=|(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)(p-e)|=|p^5-i|=|-4-5i|=\sqrt{41}

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tsusy

寸絲

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9^# 大中小發表於 2013-4-27 21:44 只看該作者

回復 5# natureling 的帖子

7. z^{5}-i=(z-z_{1})(z-z_{2})(z-z_{3})(z-z_{4})(z-z_{5}) ，

z=1+i 代入，取絕對值，得所求 =|-4-5i|=\sqrt{41} 。

填 13. f(x)=(x-1)^2 \cdot\frac{1}{1-(x-1)}=(x-1)^2\cdot(1+(x-1)+(x-1)^{2}+\ldots)=\sum\limits _{k=2}^{\infty}(x-1)^{k} , for 0<|x-1|<1。
(筆誤：漏了平方，已補上)

故 f^{(5)}(1)=5! , f^{(7)}(1)=7! ，所求 =\frac{7!}{5!}=42 。
(應該要用到泰勒展開式，以及此冪級數的唯一性)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-4-29 11:01 PM 編輯 ]

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10^# 大中小發表於 2013-4-27 21:48 只看該作者

回復 5# natureling 的帖子

第 7 題：

令 z^5-i=0 的五根為 z_1, z_2, z_3, z_4, z_5，且令 z_0=1+i

則 z^5-i = \left(z-z_1\right)\left(z-z_2\right)\left(z-z_3\right)\left(z-z_4\right)\left(z-z_5\right)

\Rightarrow \overline{PA}\cdot\overline{PB}\cdot\overline{PC}\cdot\overline{PD}\cdot\overline{PE}

　　=\left|z_0-z_1\right|\cdot\left|z_0-z_2\right|\cdot\left|z_0-z_3\right|\cdot\left|z_0-z_4\right|\cdot\left|z_0-z_5\right|

　　=\left|z_0^5-i\right|

　　=\left|\left(1+i\right)^5-i\right|

　　=\left|\left(1+i\right)^2\cdot\left(1+i\right)^2\cdot\left(1+i\right)-i\right|

　　=\left|\left(2i\right)\cdot\left(2i\right)\cdot\left(1+i\right)-i\right|

　　=\left|-5i-4\right|

　　=\sqrt{41}

後註：我（回覆）怎麼總慢一步～囧rz......

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