97高雄市高中聯招

1.四面體ＯＡＢＣ中，Ｄ點在ＡＢ上，ＡＤ：ＤＢ＝1:2，E點在CD上，DE：EC＝5:3，F點在OE上，OF：FE＝1:3，設向量ＯＡ＝a，ＯＢ＝b，ＯＣ＝c：ＡＦ向量交平面ＯＢＣ於Ｇ點，則求ＡＧ：ＦＧ=?
2.解方程式:  x^y=y^x
                    log（底數x 真數y)+log（底數y 真數x)=13/6  [不好意思，我不會使用插入數學式]
此題我只解到：y=3/2x ; y=2/3x之後就不會了！

1. 填充 7. 多用幾次分點公式，就會出來
\( \begin{aligned}\overrightarrow{AF} & =\frac{3}{4}\overrightarrow{AO}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AE}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AO}+\frac{1}{4}(\frac{3}{8}\overrightarrow{AD}+\frac{5}{8}\overrightarrow{AC})=\frac{3}{4}\overrightarrow{AO}+\frac{5}{32}\overrightarrow{AC}+\frac{3}{32}\overrightarrow{AD}\\
& =\frac{3}{4}\overrightarrow{AO}+\frac{5}{32}\overrightarrow{AC}+\frac{3}{96}\overrightarrow{AB}.\end{aligned} \)

\( \frac{3}{4}+\frac{5}{32}+\frac{3}{96}=\frac{15}{16}\), \( \Rightarrow \overline{AG}:\overline{FG}=16:1 \)

註：O, C, B 三點共平面且兩兩不共線，A 不在此平面上，G 在此平面上，則存在唯一組 \( x,y,z \) 使得 \( \vec{AG}=x\vec{AO}+y\vec{AB}+z\vec{AC} \)，而且此組 \(x,y,z \), 必滿足 \( x+y+z =1 \)
其實就是平面分點公式的加強版

2. 填充 3. 把 \( x,\, y \) 的關係，以代入消的方式代入 \( x^y =y^x \) 取 \( \log \) 就可以解 \( x,\, y \)

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-5-13 09:59 PM 編輯 ]

請問版上老師  第四題求解該怎麼作阿

想很久ㄚ!

令\( \displaystyle x=a+b,a \in Z,0 \leq b <1 \)
當\( \displaystyle 0 \leq b < \frac{1} {2} \)時，
原式\( \displaystyle =a^2-3(a-1)-7=0 \)，\( \displaystyle a=4 \)或\( \displaystyle -1 \)
可以得範圍\( \displaystyle x \in [4,4.5) \)或\( \displaystyle x \in [-1,-0.5) \)

當\( \displaystyle \frac{1} {2} \leq b < 1 \)時，
原式\( \displaystyle =(a+1)^2-3a-7=0 \)，\( \displaystyle a=3 \)或\( \displaystyle -2 \)
可以得範圍\( \displaystyle x \in [3.5,4) \)或\( \displaystyle x \in [-1.5,-1) \)

取個聯集就是所求\( \displaystyle x \in [3.5,4.5) \)或\( \displaystyle x \in [-1.5,-0.5) \)

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2018-1-16 15:42 編輯 ]

感謝您。  清楚了。