106嘉義學科能力競賽 不會的問題

不會的問題 煩請各位老師求解 謝謝

1.
43個同學參加三項鐵人比賽，每個人都須經過三項競賽，每一項競賽分數是從0到6分的整數。求證必定至少存在兩位同學，其中一人的三項成績都不低於另外一位。
2.
假設多項式\(f(x)\)滿足：存在一個常數\(c>0\)，對所有\(x \in R\)，\( \left| f(x)-f(1) \right| \le c\left| x-1 \right|^5 \)
若\(f(0)=-8\)，\(f(3)=40\)，求\(f(1)\)？
3.
如圖，若\(2\overline{A_1A_2}=\overline{A_2A_3}=2\overline{A_3A_4}\)，試證\(\overline{B_2B_3}\le \overline{B_1B_2}+\overline{B_3B_4}\)。
下一題的話我是用交比來解 然後再用反證 不知道有沒有其他證法？

個人想法如下，正確性待考:

1.

若有 2 人在某兩項皆同分，則此 2 人為所求，命題成立。 ...... (情形1)

以下把題目圖像化。對於二維平面上的格子點 (p, q)，其中 0 ≤ p ≤ 6，0 ≤ q ≤ 6，則 :

x + y = 5，x + y = 6，x + y = 7 三條直線分別含有 6，7，6 個格子點 (p, q)。現若欲取 7 或 6 個相異的格子點 (p, q)，使其任意兩點的連線皆具有負斜率，則這些格子點必位於前述三條直線上 (由 "當 p 值變大，則 q 值變小" 即易得此結論)。...... (#)

令三個競賽項目為 A，B，C。依 A 項目的得分將 43 人分為 7 組 (同分者同組)，並將每人在 B，C 項目的得分 p，q 對應到上述的格子點 (p, q) :

a. 若某 1 組內，有 2 點連線不具有負斜率 (包括 2 點重合)，則此 2 人為所求，命題成立。...... (情形2)

b.  (承 a) 否則，每 1 組至多 7 人 (若有 8 人，則此 8 人在 B 項目必有 2 人同分，為情形2)，則必存在 4 組至少有 6 人。考慮這 4 組人對應到的所有格子點 (p, q)，依 (#) 的結論必位在其所述的三條直線上。由於該三條直線上僅有19 個格子點 (p, q)，故這 4 組格子點 (至少 24 個) 必有重合而成為情形1，命題成立。

綜上，得證。


2. (先作出 y = c |x-1|⁵ 的圖形，較易體會)

考慮多項式 g(x) = f(x) - f(1)，則 :

一. deg [ g(x) ] = 5。 因若 deg [ g(x) ] > 5，則存在足夠大的 x 使題目的不等式不成立; 而若 deg [ g(x) ] < 5，則存在足夠接近 1 的 x 使題目的不等式不成立。又 g(x) 不會是零多項式。

二. 可令 g(x) = a (x-1)⁵。因若 1 不是 g(x) = 0 的五重根，則存在足夠接近 1 的 x 使題目的不等式不成立。

再代入題目條件，得 f(1) = - 72/11


[ 本帖最後由 cefepime 於 2017-11-15 23:58 編輯 ]

謝謝指教！
多項式那題大概懂了 第一題慢慢研究中