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調和數列的不等式

larson

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1^# 大中小發表於 2018-11-28 11:55 只看該作者

調和數列的不等式

請問這條不等式，若不用數學歸納法，有其他的解法嗎？數論、微積分、…皆可
證明對所有大於1的整數\(n\)，\(\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}>\frac{2n}{n+1}\)。

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weiye

瑋岳

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2^# 大中小發表於 2018-11-28 12:13 只看該作者

回復 1# larson 的帖子

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nn.docx (18.21 KB): 2018-11-28 12:13, 下載次數: 6448

多喝水。

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cefepime

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3^# 大中小發表於 2018-11-28 17:25 只看該作者

另證:

1. 柯西不等式

2. 冪平均不等式

3. Jensen 不等式

4. 排序不等式

[ 本帖最後由 cefepime 於 2018-11-28 23:59 編輯 ]

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larson

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4^# 大中小發表於 2018-11-29 07:39 只看該作者

回復 2# weiye 的帖子

感謝。

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larson

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5^# 大中小發表於 2018-11-29 14:29 只看該作者

回復 3# cefepime 的帖子

請問冪平均不等式如何操作？

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cefepime

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6^# 大中小發表於 2018-11-29 14:38 只看該作者

回復 5# larson 的帖子

1, 1/2, ..., 1/n 諸正數的算術平均 > 調和平均。

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larson

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7^# 大中小發表於 2018-11-29 15:38 只看該作者

回復 6# cefepime 的帖子

非常感謝你的回覆。
我原本以為你指的冪平均（power mean）是以下這一個
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%82%E5%B9%B3%E5%9D%87

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cefepime

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8^# 大中小發表於 2018-11-29 16:07 只看該作者

回復 7# larson 的帖子

就是指如聯結的那個沒錯呀。

算術平均: p = 1 的冪平均

調和平均: p = -1 的冪平均

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laylay

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9^# 大中小發表於 2018-12-7 09:01 只看該作者

回復 1# larson 的帖子

n=2 時 1+1/2=3/2>4/3=2*2/(2+1),成立
n=3 時 1+1/2+1/3=11/6>6/4=2*3/(3+1),成立
n>=4 時左式>=1+1/2+1/3+1/4>1+1/2+1/4+1/4=2>2n/(n+1)=右式,成立
得證本題

[ 本帖最後由 laylay 於 2018-12-7 09:09 編輯 ]

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