97家齊女中

97家齊 No.9
已知正三角形ABC之邊長\(2\sqrt{3}\)，如圖附件所示，若點H為正三角形ABC垂心，在\(\bar{BC}\)邊之延長線上取一點R，則直線\(\bar{HR}\)分別與\(\bar{AB}\)及\(\bar{AC}\)交P、Q兩點，則\(\frac{1}{\bar{HP}}*\frac{1}{\bar{HQ}}*\frac{1}{\bar{HR}}=?\)


97家齊 N0.10
在以原點\(O(0，0，0)\)為球心，半徑為1的單位圓上取一點\(A(a_{1}，a_{2}，a_{3})\)，點A所對的另一點\(B(a_{3}，a_{1}，a_{2})\)有在這單位圓上，則\(\angle AOB\)之最大值為？

以上答題的觀念為何呢？

NO10
假設 \( \angle ABC= \theta \)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{ \vec{OA} \cdot \vec{OB} }{\| \vec{OA}\| \times \| \vec{OB}\| } \)
\( \displaystyle \cos\theta=a_1a_2+a_2a_3+a_3a_1 \)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{1}{2}[(a_1+a_2+a_3)^2-(a_1^2+a_2^2+a_3^2)] \)
\( \displaystyle \cos\theta=\frac{1}{2}[(a_1+a_2+a_3)^2-1] \)
所以只要找 \( \arrowvert a_1+a_2+a_3 \arrowvert \)最小就好
顯然這個是0，只要在 \( x+y+z=0 \)和 \( x^2+y^2+z^2=1 \)的交圓上取點即可
故\( \displaystyle \cos\theta=-\frac{1}{2} \)
\( \displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3} \)
以上是從代數角度來看
若從幾何角度來看
將A變換為B可以看成先對 \( \displaystyle x=y \)做鏡射，再對 \(x=z \)做鏡射
這兩個的合成是繞他們的交線 \( \displaystyle x=y=z \)所做的旋轉
其夾角為\( \displaystyle \frac{\pi}{3} \)
故旋轉角為兩倍\( \displaystyle \frac{2\pi}{3} \)
要求\(\angle AOB \)最大，就必須以O為旋轉點
就知道最大值為\( \displaystyle \frac{2\pi}{3} \)

[ 本帖最後由 老王 於 2009-6-20 06:51 PM 編輯 ]

NO9
\( \displaystyle HA=HB=HC=\frac{\sqrt3}{3} \times 2\sqrt3=2 \)
假設 \( \angle AQH=\theta \)
那麼 \( \angle BRH=60^o+\theta，\angle BRH=60^o-\theta \)
在三角形BPH，\( \displaystyle \frac{HA}{HQ}=\frac{\sin\theta}{\sin30^o} \)
在三角形AQH，\( \displaystyle \frac{HB}{HP}=\frac{\sin(60^o+\theta)}{\sin30^o} \)
在三角形BRH，\( \displaystyle \frac{HB}{HR}=\frac{\sin(60^o-\theta)}{\sin30^o} \)
三式相乘得\( \displaystyle \frac{2}{HP}\times\frac{2}{HQ}\times\frac{2}{HR}=8\sin\theta\sin(60^o+\theta)\sin(60^o-\theta) \)
\( \displaystyle \frac{1}{HP}\times\frac{1}{HQ}\times\frac{1}{HR}=\frac{1}{4}\sin3\theta \)
所以這個結果會跟直線的位置有關，並非一個定值。
知識+有人問，給的答案是 \( \displaystyle \frac{\sqrt3}{8} \)
那麼\( \angle AQH=\theta=45^o \) (如果是\( 15^o \) ，R會在BC線段上)
所以應該是題目少給條件了

[ 本帖最後由 老王 於 2009-6-20 07:08 PM 編輯 ]

我了解，謝謝老王老師

請教王老師
第10題的幾何觀點為何從A到B繞x=y=z旋轉
A對x=y做鏡射與在對x=z做鏡射的夾角為60度
謝謝

先看平面的情況
假設兩直線 \( \displaystyle L_1,L_2 \)夾角為 \( \displaystyle \theta \)，交於O
考慮兩個鏡射的合成 \( \displaystyle R(L_2) o R(L_1) \)
對於點A，假設AO將兩線夾角分成 \( \displaystyle \alpha+\beta \)
那麼由附圖可以看出最後得到的A"滿足
\( \displaystyle \angle{A"OA}=2\theta \)
故此兩鏡射的合成為中心為O的旋轉，旋轉角為夾角的兩倍
要注意的是這個角度是有方向性的

[ 本帖最後由 老王 於 2009-7-23 09:14 PM 編輯 ]

謝謝王老師
不過鄭在試圖理解中

請教第三題，感謝

第3題
這是老梗題了
\(\text{231}0=\text{2}\times \text{3}\times \text{5}\times \text{7}\times \text{11}\)
所求 = \(\frac{{{3}^{5}}-3}{3!}\)

感謝。