97師大附中學科能力競賽

15.已知對於任何非零實數x，均有\( \displaystyle x \cdot f(x) - f(\frac{1}{{1 - x}}) = x\)，求函數\(f(x) =\)　　　　

求高手幫忙   感恩
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設\( \displaystyle a=x \)、\( \displaystyle b=\frac{1}{1-x} \)、\( \displaystyle c=\frac{1-x}{-x} \)
由題知\( \cases{\matrix{af(a)-f(b)=a \cr bf(b)-f(c)=b} \cr cf(c)-f(a)=c} \)
得\( \displaystyle f(a)=\frac{abc+bc+c}{abc-1}f(x)=\frac{-1+\frac{1}{-x}+\frac{1-x}{-x}}{-2}=\frac{1}{x} \)

請高手補充更好的做法

感謝  我也想到用加減消去法去解   就是不知道變數要怎麼假設

令g(x)=1/(1-x),則您之所以能用您的方法解出,完全是歸功於g(g(g(x)))=x
              原題目=>  xf(x)-f(g(x))=x       ..................(1)
    令x變成g(x)  , 得g(x)f(g(x))-f(g(g(x)))=g(x) .......(2)
再令x變成g(x)  , 得g(g(x))f(g(g(x)))-f(x)=g(g(x)) ...(3) ,  其中g(g(x))=(x-1)/x
再由上面三個式子
由(1)(3)代入(2)=>1/(1-x)*(xf(x)-x)-(1+x/(x-1)*f(x))=1/(1-x)  => 2x/(1-x)*f(x)=2(1-x)  解出f(x)=1/x
倘若題目改成 xf(x)-f(1/(2-x))=x-1 ..... (A),則您的方法便無法使用,
此時我們可以很 輕鬆的看出f(x)=1/x是原題目跟(A)共同的解
剩下的工作是唯一性(沒有別的解),在此想徵求高手來解答喔! (請順便(A)也解一解,f(x)=1也是解喔) , 謝謝.

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-6-8 00:54 編輯 ]

laylay老師說的完全正確，因為這組數字以前寫過，剛好有發現這個規律(應該說以前只有學找規律這招)，
故貼上以前的做法。自己現在也沒有更好的想法，所以也想請高手補充更好的做法。