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代課老師教甄口試問題

larson

1# 大 中 小 發表於 2017-5-23 16:55  只看該作者

代課老師教甄口試問題

若函數f(x)為可微分函數，請問 f '(x) 是否一定為連續函數？

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thepiano

2# 大 中 小 發表於 2017-5-23 20:11  只看該作者

回復 1# larson 的帖子

不一定，反例如下：

\(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
  & {{x}^{2}}\cos \frac{1}{x}\ ,\ x\ne 0 \\
& 0\ ,\quad \quad \quad x=0 \\
\end{align} \right.\)

在\(x\to 0\)時，\(f'\left( x \right)=2x\cos \frac{1}{x}+\sin \frac{1}{x}\)的極限不存在，即\(f'\left( x \right)\)在\(x=0\)處不連續

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laylay

3# 大 中 小 發表於 2017-5-24 10:38  只看該作者

回復 2# thepiano 的帖子

但是如此f(x)在X=0可微分嗎?
因為題目說函數f(x)為可微分函數,謝謝.
即是否只需觀察在可微分的區間是否有連續呢?
個人覺得題目改成函數在可微分的區間，是否其微分函數都是連續函數較為明確

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-5-24 11:33 編輯 ]

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thepiano

4# 大 中 小 發表於 2017-5-24 11:52  只看該作者
引用:
原帖由 laylay 於 2017-5-24 10:38 發表
但是如此f(x)在X=0可微分嗎?
可微

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laylay

5# 大 中 小 發表於 2017-5-24 12:50  只看該作者

回復 4# thepiano 的帖子

我知道了f`(0)=0,謝謝
令g(x)=x^2,g`(0)=0,而f(x)的絕對值<=g(x),可知道了f`(0)=0
問題是f(x) 在x=0處有連續,實在有點神奇

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-5-24 13:03 編輯 ]

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