102國立大里高中數理資優班

求一難題 請大師解析
16題到底是否有解 我是算無解 但朋友暴力卻解出1008
請大師解說

16.
解方程式：\( \displaystyle \frac{x-2}{x-3}+\frac{x-2012}{x-2013}=\frac{x-4}{x-5}+\frac{x-2010}{x-2011} \)，則\(x=\)　　　。
http://www.dali.tc.edu.tw/exam/102/mathquiz/title.asp

x=1008沒錯，這題不用多暴力吧？

\(\displaystyle \left(1+\frac{1}{x-3}\right)+\left(1+\frac{1}{x-2013}\right)=\left(1+\frac{1}{x-5}\right)+\left(1+\frac{1}{x-2011}\right)\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-2013}=\frac{1}{x-5}+\frac{1}{x-2011}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{x-2013}-\frac{1}{x-5}=\frac{1}{x-2011}-\frac{1}{x-3}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{2008}{\left(x-2013\right)\left(x-5\right)}=\frac{2008}{\left(x-2011\right)\left(x-3\right)}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(x-2013\right)\left(x-5\right)=\left(x-2011\right)\left(x-3\right)\)

\(\Rightarrow  x=1008\)

\( \displaystyle \frac{x-2}{x-3}=1+\frac{1}{x-3} \)
原式\( \displaystyle \Rightarrow \frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-2013}=\frac{1}{x-5}+\frac{1}{x-2011} \)
找3,5,2011,2013的中位數

這樣不知道算不算暴力解

(x-2011)/(x-3)=(x-5)/(x-2013),
-2008/(x-3)=2008/(x-2013),
x-2013+x-3=0,
x=1008