請問一題級數和問題

請證明該級數和\( \displaystyle \sum_{k=1,k\ne n}^{\infty}\frac{1}{k^2-n^2}=\frac{3}{4n^2} \)

目前只想到用平方差拆開去看有沒有什麼線索

結果看起來無功而返

想請各位老師幫忙

直接分項對消就可以了 \(\displaystyle \frac{1}{k^2-n^2} = \frac{1}{2n}\left(\frac{1}{k-n}-\frac{1}{k+n}\right)\)

所求對消之後剩下的 \(\displaystyle =\frac{1}{2n}\left(\frac{1}{1-n}+\frac{1}{2-n}+\cdots+\frac{1}{-1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{2n}\right)\)

\(\displaystyle =\frac{1}{2n}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2n}\right)=\frac{3}{4n^2}\)

不好意思

能把第2行的算式來由 寫詳細點嗎

資質駑鈍有點看不太懂

謝謝

1. 粉紅色 框起來的兩區塊，互為相反數。

2. 畫螢光筆的地方，左右兩直行會對消。