請教一題類級數和

\( a^{101}=1\),\(a\ne 1\), 求\( \displaystyle \frac{a^3}{a+1}+\frac{a^6}{a^2+1}+\frac{a^9}{a^3+1}+\ldots+\frac{a^{300}}{a^{100}+1}= \)？

\(\begin{align}
  & \frac{1}{a+1}+\frac{1}{{{a}^{2}}+1}+\frac{1}{{{a}^{3}}+1}+\cdots +\frac{1}{{{a}^{100}}+1} \\
& =\left( \frac{1}{a+1}+\frac{1}{{{a}^{100}}+1} \right)+\left( \frac{1}{{{a}^{2}}+1}+\frac{1}{{{a}^{99}}+1} \right)+\cdots +\left( \frac{1}{{{a}^{50}}+1}+\frac{1}{{{a}^{51}}+1} \right) \\
& =50 \\
&  \\
& \frac{{{a}^{3}}}{a+1}+\frac{{{a}^{6}}}{{{a}^{2}}+1}+\frac{{{a}^{9}}}{{{a}^{3}}+1}+\cdots +\frac{{{a}^{300}}}{{{a}^{100}}+1} \\
& =\frac{{{a}^{3}}+1}{a+1}+\frac{{{a}^{6}}+1}{{{a}^{2}}+1}+\frac{{{a}^{9}}+1}{{{a}^{3}}+1}+\cdots +\frac{{{a}^{300}}+1}{{{a}^{100}}+1}-50 \\
& =\left( {{a}^{2}}-a+1 \right)+\left( {{a}^{4}}-{{a}^{2}}+1 \right)+\left( {{a}^{6}}-{{a}^{3}}+1 \right)+\cdots +\left( {{a}^{200}}-{{a}^{100}}+1 \right)-50 \\
& =\left( {{a}^{102}}+{{a}^{104}}+{{a}^{106}}+\cdots +{{a}^{200}} \right)-\left( a+{{a}^{3}}+{{a}^{5}}+\cdots +{{a}^{99}} \right)+100-50 \\
& =50 \\
\end{align}\)

請證明   f(1)=f(3)(原題)=f(5)=.......=f(99)=50
              f(2)=f(4)=f(6)=.......=f(100)=-51

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-3-25 21:57 編輯 ]

小弟湊巧有證明過推廣的，也跟樓上的老師說的一樣結論，以下是粗淺的證明，希望不嫌棄

106.3.26板主補充
將圖轉正

證得不錯,有空請再針對分母改為 a-1,a^2-1,.....a^100-1 ,探討一下g(k) 吧 !
但拍照時請手機用橫向去拍,不然頭需旋轉九十度才能欣賞到您的作品喔 !

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-3-26 16:16 編輯 ]

謝謝妳的建議，哈我正在憂愁如何轉正，原來如此，
謝謝指教也是您有提醒我才想起來的，謝謝妳