110臺南女中

110.04.19
數學科：填充題第 19 題答案更正為：48
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110.04.20
數學科：填充題第 10 題答案更正為：23/9







[ 本帖最後由 Superconan 於 2021-4-20 15:16 編輯 ]

12.
試問滿足\(m^3+n^3+99mn=33^3\)且\(m \cdot n\ge 0\)的序對\((m,n)\)有　　　組整數解。

試問滿足\( m^3+n^3+99mn=33^3 \)且\( m \cdot n \ge 0 \)之序對\( (m,n) \)有幾組整數解？(A)2　(B)3　(C)33　(D)35　(E)99
(102玉里高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1730&page=1#pid9847)

13.
有100扇門，分別編號1~100號，一開始全部都是關閉，按第一次為開，第二次為關，第三次為開…依此類推(也就是按奇數次為開、偶數次為關)，編號 1~100 號同學，但是6號同學沒來，只有 99 位同學。若每人將自己編號的倍數按一次，例如:1號同學將全部的門都按1次，2號同學會將 2、4、6、8、…、100 的門都按 1 次。請問這100 扇門最後有　　　扇門是打開的？
完全平方數
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=786&page=1#pid1446

22.
\(\Delta ABC\)中，\(∠C=90^{\circ}\)，且\(3\overline{AD}=2\overline{DE}=\overline{EB}\)，已知\(∠ACD=\alpha\)，\(∠DCE=\beta\)，\(∠ECB=\gamma\)，\(\displaystyle \frac{sin\alpha\cdot sin\gamma}{sin\beta}\)之值為　　　。

直角\(\Delta ABC\)的斜邊為\(\overline{AB}\)，若\(\overline{AC}=1\)，\(\overline{BC}=3\)，\(\overline{AB}\)的三等分點為\(D\)、\(E\)，且\(∠ACD=\alpha\)，\(∠DCE=\beta\)，\(∠ECB=\gamma\)。則\(\displaystyle \frac{sin\beta}{sin\alpha \cdot sin\gamma}=\)　　　。
(106台中一中，https://math.pro/db/thread-2738-1-1.html)

第5題
令xy=t,則可以整理出所求為14t(t-23)/(7t-1) +9
算出t=15+4sqr(14)代入硬暴可以得到答案
可是我在考場沒勇氣帶入一個看起來消不掉的根號
想請教各位老師正確的作法

#12  考古題
m^3+n^3+99m*n=33^3
m^3+n^3+(-33)^3-3m*n*(-33)=(1/2)[m+n-33][(m-n)² +(n+33)² +(m+33)² ]=0
m+n=33 或 m=n= -33
因為m,n>=0 ,所以
(m,n)=(0,33),(1,32),(2,31),...................,(33,0)及(-33,-33)
共35組

＃13  考古題
(98全國聯招,選擇1)

因為(7x-1/y)(y-7/x)=7[xy+1/(xy)]-50=7*30-50=160
且7x-1/y=16,所以y-7/x=10
可得2xy-20x=14
所求=(2xy-20x)+9=14+9=23

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2021-4-18 20:47 編輯 ]

想請教10、11、16、19，謝謝。

11倒回來換
1白可換2黑或2白->+1白或+2黑
1黑可換1白和1黑->+1白
故若最後為1黑則起始黑必為奇數

第 11 題
每次操作後，黑球的數量一直維持偶數，所以剩 1 顆黑球的機率是 0

第 16 題
視為拋物線 y^2 = 4x 上一點 (t^2，2t) 到 (5，3) 的距離減去 t^2
所求即 (5，3) 到焦點 (1，0) 的距離加 1

填充 19. 公告答案 24，應為 48，以下為算式。
設空間中三向量 \( \vec{a} \)、\( \vec{b} \)、\( \vec{c} \)所展開的四面體體積為 \( V \)，\( S= \{P∣\vec{OP}= \alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma \vec{c}  \)，\( |\alpha| \le 1 \)， \( |\alpha+\beta| \le 1 \) ， \( |\alpha+\beta+\gamma| \le1 \} \) 的體積為 \( kV \)，則實數 \( k \) 的值為__________。

解. 考慮 \( e = \alpha \), \( f = \alpha +\beta \), \( g = \alpha + \beta + \gamma \)
\( F(e,f,g) = \alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma \vec{c} = e\vec{a}+ (f-e) \vec{b}+ (g-f) \vec{c} \)

\( J_{F}(e,f,g) = \begin{bmatrix}\vec{a}-\vec{b}\\
\vec{b}-\vec{c}\\
\vec{c}
\end{bmatrix}^{T} \)

\( kv = |\int_{S}dxdydz| =\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}| \begin{vmatrix}\vec{a}-\vec{b}\\
\vec{b}-\vec{c}\\
\vec{c}
\end{vmatrix}|dedfdg=|\begin{vmatrix}\vec{a}\\
\vec{b}\\
\vec{c}
\end{vmatrix}| \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}dedfdg = 6V\times8 = 48V \)