105北一女中二招

我盡力了，再麻煩大家補充

計算證明第4題
這題去年雄中考過，那時板上分享的題目應該是少了”此圓通過原點”這個條件
此題會用到三次方程式的判別式，答案為\(\displaystyle \frac{3}{4}\sqrt[3]{2}\)

#3
試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\cdot \left(\frac{\pi}{12n}+\frac{3\pi}{12n}+\frac{5\pi}{12n}+\ldots+\frac{(2n-1)\pi}{12n}\right)=\)
[解答]
原式=∫ {0 to 2}  sin(π*x/12) dx - ∫ {0 to 1}  sin(π*x/6) dx

答案: (6-3√3) / π

補上官方公佈的填充題答案給大家參考。

105.5.26補充
將檔案移到第一篇

請問各位前輩：第2題 若函數\(f(x)=a^{log(x^2+1)}\)有最大值，這句話是甚麼意思？
麻煩解答，謝謝！

第二題
已知\(a>0\)，\(a\ne 1\)，若函數\(f(x)=a^{log(x^2+1)}\)有最大值，則滿足\(\displaystyle log_a \frac{k-8}{k(k-5)}\ge 0\)的\(k\)的範圍為　　　。
[解答]
0<a<1
所以0< (k-8)/k(k-5) <=1
解不等式，
前面：0<k<5 或 k>8
後面：k<=0 或 2<=k<=4 或 k>=5

想請教一下填充第5題和第6題, 謝謝

填充 5.
設\(\Delta ABC\)的三邊長為\(\overline{AB}=4,\overline{BC}=5,\overline{CA}=6\)，三高為\(\overline{AD},\overline{BE},\overline{CF}\)，試求三面積比\(\Delta AEF:\Delta BDF:\Delta CDE=\)　　　。
[解答]
三高 → 直角

故有 \( \overline{AF} = \overline{AC} \cos A \), \( \overline{AE} = \overline{AB} \cos A \)

再利用兩邊一夾角計算面積得 \( \triangle AEF = \triangle ABC \cos^2 A\)

同理可得另兩三角形之面積為 \( \triangle \) 的 \( \cos^2 B, \cos^2C\) 倍

再以餘弦定理計算三角的餘弦值，即可得面積比

填充 6.
已知兩方程式\(x^2-2x+2=0\)與\(x^2+2mx+1=0\)的四個不同根在複數平面上對應的點共圓，則實數\(m\)的範圍為　　　。
[解答]
\( x^2 -2x +2 =0 \) 之兩根為 \( 1 \pm i \)。

令方程式 \( x^2+2mx+1 = 0 \) 之兩根為 \( \alpha, \beta \)，及四點 \( A(\alpha), B(\beta), C(1+i), D(1-i) \)

因 \( m \) 為實數，故 \( \alpha, \beta \) 可為兩實根或兩共軛虛根

若為兩實根，則 \( \overline{AB} \), \( \overline{CD} \) 的中垂線分別為 \( x= -m \), \( y=0 \) 其交點為 \( -m,0 \)，此點即圓心

由圓心到四點等距可得 \( m = -\frac32 \)

若為兩共軛虛根之情形，只要 \( ABCD \) 四點不共線，則四點可形成一等腰等形(或矩形)必共圓

故得 \( -1< m < 1 \) 時，四點共圓

綜合以上，滿足四點共圓的 m 範圍為 \( -1<m<1 \) 或 \( m = -\frac32 \)

懂了,謝謝吋絲老師

小弟提供参考作法，並想請教計算最後一題！感謝！