103,105南一中學術性向資優鑑定

國三畢業的學生在準備下個月數理資優班的考題，問了我兩題不太會的題目：
1.若x為實數且f(x)=x27x2−4x+1，則下列哪一個選項正確？
(A)f(x)有最大值，但f(x)沒有最小值。
(B)f(x)有最小值，但f(x)沒有最大值。
(C)f(x)有最大值及最小值。
(D)f(x)沒有最大值及最小值。
(E)以上皆有可能。

答案是(C)有最大值及最小值

2.恰有2個k值，使得當m為整數時，方程式x2−2(2m−5)x+3m2−16m+k2+5k=0恆有整數解，求這2個k值的乘積？
(A)−21　(B)−5　(C)4　(D)5　(E)21

答案是−21
題目給恰有2個k值不知道是要給什麼訊息，我只想到整數解從判別式是完全平方數下手，請問各位老師該怎麼想? 謝謝各位

第1題
\displaystyle\begin{align}   & \frac{{{x}^{2}}}{7{{x}^{2}}-4x+1}=k \\ & \left( 7k-1 \right){{x}^{2}}-4kx+k=0 \\ & {{\left( -4k \right)}^{2}}-4k\left( 7k-1 \right)\ge 0 \\ & 0\le k\le \frac{1}{3} \\ \end{align}

第2題
\displaystyle \begin{align}   & {{\left[ -2\left( 2m-5 \right) \right]}^{2}}-4\left( 3{{m}^{2}}-16m+{{k}^{2}}+5k \right) \\ & =4\left[ {{m}^{2}}-4m-\left( {{k}^{2}}+5k-25 \right) \right] \\ & =4\left[ {{\left( m-2 \right)}^{2}}-\left( {{k}^{2}}+5k-21 \right) \right] \\ \end{align}
是完全平方數
{{k}^{2}}+5k-21=0

謝謝老師!