103,105南一中學術性向資優鑑定

國三畢業的學生在準備下個月數理資優班的考題，問了我兩題不太會的題目：
1.若\(x\)為實數且\( \displaystyle f(x)=\frac{x^2}{7x^2-4x+1} \)，則下列哪一個選項正確？
(A)\( f(x) \)有最大值，但\( f(x) \)沒有最小值。
(B)\( f(x) \)有最小值，但\( f(x) \)沒有最大值。
(C)\( f(x) \)有最大值及最小值。
(D)\( f(x) \)沒有最大值及最小值。
(E)以上皆有可能。

答案是(C)有最大值及最小值

2.恰有2個\(k\)值，使得當\(m\)為整數時，方程式\(x^2-2(2m-5)x+3m^2-16m+k^2+5k=0\)恆有整數解，求這2個\(k\)值的乘積？
(A)\(-21\)　(B)\(-5\)　(C)4　(D)5　(E)21

答案是\(-21\)
題目給恰有2個\(k\)值不知道是要給什麼訊息，我只想到整數解從判別式是完全平方數下手，請問各位老師該怎麼想? 謝謝各位

第1題
\(\displaystyle\begin{align}
  & \frac{{{x}^{2}}}{7{{x}^{2}}-4x+1}=k \\
& \left( 7k-1 \right){{x}^{2}}-4kx+k=0 \\
& {{\left( -4k \right)}^{2}}-4k\left( 7k-1 \right)\ge 0 \\
& 0\le k\le \frac{1}{3} \\
\end{align}\)

第2題
\(\displaystyle \begin{align}
  & {{\left[ -2\left( 2m-5 \right) \right]}^{2}}-4\left( 3{{m}^{2}}-16m+{{k}^{2}}+5k \right) \\
& =4\left[ {{m}^{2}}-4m-\left( {{k}^{2}}+5k-25 \right) \right] \\
& =4\left[ {{\left( m-2 \right)}^{2}}-\left( {{k}^{2}}+5k-21 \right) \right] \\
\end{align}\)
是完全平方數
\({{k}^{2}}+5k-21=0\)

謝謝老師!