103北一女中二招

如附件103年5月6日考試

印象是計算最後三題，如有誤請更正。

103.5.8補充
將題目重新打字，讓將來的網友能搜尋到題目。

橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{16}+y^2=1 \)，圓\( (x-2)^2+y^2=r^2 \)是ΔABC內接圓且A為橢圓左頂點。
(1)\( r= \)？
(2)若從橢圓上頂點D做圓切線交橢圓於P,Q，證明：\( \overline{PQ} \)是圓切線。



二次函數\( f(x) \)在\( \displaystyle x=\frac{3}{4} \)時有最小值\( \displaystyle -\frac{1}{16} \)，且二次項領導係數為1，若\( f(x)\cdot g(x)+a_nx+b_n=x^{n+1} \)，\( \forall x \in R \)。
(1)求\( a_n,b_n \)。
(2)\( Γ_n \)：\( (x-a_n)^2+(y-b_n)^2=r_n^2 \)，且\( \langle\; r_n \rangle\; \)為公比正數的等比數列，若\( Γ_n \)的面積為\( A_n \)，求\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}A_n= \)？



\( deg f(x)=4 \)，領導係數1，若\( y=f(x) \)和\( y=x-1 \)相切於P,Q，\( y=f(x) \)和\( y=x \)相切於R。
(1)ΔPQR面積。
(2)\( y=f(x) \)和\( y=x-1 \)圍出的封閉區域面積。
(3)\( y=f(x) \)和\( y=x \)圍出的封閉區域面積。

[ 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-8 06:12 AM 編輯 ]

想請教  計算第2   第3   感恩...

計算第2題
(1)
\(\begin{align}
  & f\left( x \right)={{\left( x-\frac{3}{4} \right)}^{2}}-\frac{1}{16}=\frac{1}{2}\left( x-1 \right)\left( 2x-1 \right) \\
& f\left( 1 \right)=f\left( \frac{1}{2} \right)=0 \\
&  \\
& \left\{ \begin{align}
  & {{a}_{n}}+{{b}_{n}}=1 \\
& \frac{1}{2}{{a}_{n}}+{{b}_{n}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n+1}} \\
\end{align} \right. \\
&  \\
& \left\{ \begin{align}
  & {{a}_{n}}=2-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}} \\
& {{b}_{n}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}-1 \\
\end{align} \right. \\
\end{align}\)

(2) 應該有少條件

[ 本帖最後由 thepiano 於 2014-8-18 03:11 PM 編輯 ]

想請益填充1, 3, 5, 6
感謝好心的前輩們

參考一下
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3309

感謝鋼琴前輩的提醒^^

請問計算最後一題有提示方向嗎
只畫的出相切大略的圖
但沒有函數不知道要怎麼假設方向

計算最後一題
這題實在不簡單，能在考場上寫出來的非常人也

f(x) 不唯一，它的圖形可在 y=x 和 y=x-1 之間平移
不失一般性，可設\(R\left( 0,0 \right),P\left( m,m-1 \right),Q\left( n,n-1 \right),m\ne n,mn\ne 0\)
\(\begin{align}
  & f '\left( x \right)=4x\left( x-m \right)\left( x-n \right)+1 \\
& f\left( x \right)={{x}^{4}}-\frac{4}{3}\left( m+n \right){{x}^{3}}+2mn{{x}^{2}}+x \\
&  \\
& f\left( m \right)=-\frac{1}{3}{{m}^{4}}+\frac{2}{3}{{m}^{3}}n+m=m-1 \\
& f\left( n \right)=-\frac{1}{3}{{n}^{4}}+\frac{2}{3}m{{n}^{3}}+n=n-1 \\
& -\frac{1}{3}{{m}^{4}}+\frac{2}{3}{{m}^{3}}n=-\frac{1}{3}{{n}^{4}}+\frac{2}{3}m{{n}^{3}} \\
& \left( {{m}^{2}}-{{n}^{2}} \right){{\left( m-n \right)}^{2}}=0 \\
& m=-n \\
&  \\
& -\frac{1}{3}{{m}^{4}}+\frac{2}{3}{{m}^{3}}n=-1 \\
& -\frac{1}{3}{{n}^{4}}-\frac{2}{3}{{n}^{4}}=-1 \\
& n=\pm 1 \\
&  \\
& f\left( x \right)={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+x \\
\end{align}\)
剩下的就不做了

計算最後一題另解.
設 P,Q,R 的 x 坐標分別為 p,q,r

考慮 \( g(x) = f(x) - x+1 = (x-p)^2(x-q)^2 \)

\( g'(x) =  2(x-p)(x-q)(2x-p-q) \)

R 之坐標為 g'(x) =0 的第三解 \( x = r = \frac{p+q}{2} \)

又 \( g(r) = f(r) -r +1 = 1 \)

故 \( \left( \frac{p-q}{2} \right)^4 = 1 \Rightarrow p-q = \pm 2\)

剩下的也不做了

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-10-9 01:58 PM 編輯 ]