104台北市陽明高中

1.角AOB為銳角，M、N為OA上一點，其中OM=5、MN=3。 P為OB上一點，求OP為多少時 角MON的角度為最大。

2.f(x)=x^3-3x、-2<a<2 (-2跟2有等號）
    試由a討論 f(f(x))=a根的個數。

3.有ㄧ圓x^2+y^2=10，令F為x^2=4y之焦點。 若有一直線斜率為1且過F，且該直線與圓、拋物線交四點，由左至右分別是F_1 F_2 F_3 F_4，求F_1F_2的長度+F_3F_4的長度為?

想請教這三題的想法。 PS.用手機排版 可能有點亂 請見諒。

第3題
直線\(y=x+1\)與圓O：\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=10\)交於\({{F}_{1}},{{F}_{3}}\)，與\({{x}^{2}}=4y\)交於\({{F}_{2}}\left( 2-2\sqrt{2},3-2\sqrt{2} \right),{{F}_{4}}\left( 2+2\sqrt{2},3+2\sqrt{2} \right)\)
而\(F\left( 0,1 \right)\)在\(\overline{{{F}_{2}}{{F}_{3}}}\)上，\({{x}^{2}}=4y\)的準線是\(y=-1\)
先用根與係數算出\(\overline{{{F}_{1}}{{F}_{3}}}=\sqrt{38}\)，作\(\overline{OP}\)垂直\(y=x+1\)於P
\(\begin{align}
  & \overline{OP}=\overline{PF}=\frac{\sqrt{2}}{2},\overline{F{{F}_{1}}}=\frac{\sqrt{38}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2},\overline{F{{F}_{3}}}=\frac{\sqrt{38}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \\
& \overline{F{{F}_{4}}}=4+2\sqrt{2},\overline{F{{F}_{2}}}=4-2\sqrt{2} \\
& \overline{{{F}_{1}}{{F}_{2}}}+\overline{{{F}_{3}}{{F}_{4}}}=\overline{F{{F}_{1}}}-\overline{F{{F}_{2}}}+\overline{F{{F}_{4}}}-\overline{F{{F}_{3}}}=\left( \overline{F{{F}_{1}}}-\overline{F{{F}_{3}}} \right)+\left( \overline{F{{F}_{4}}}-\overline{F{{F}_{2}}} \right)=5\sqrt{2} \\
\end{align}\)

提供三題，印象中，有誤請幫忙修正
1.一等比數列\( a_{n} \)，前n項總和為\( S_{n} \)，若\( S_{10}=10 \)，\( S_{30}=70 \)，求\( S_{40} \)
2.\( \displaystyle w=cos(\frac{2 \pi}{10})+i sin(\frac{2 \pi}{10}) \)，求以\( w,w^{3},w^{7},w^{9} \)為根的最低次多項式
3.已知\( (\log_{a}{x})^{2}+(\log_{a}{y})^{2}-\log_{a}{(xy)^{2}}\le 2 \)，若\( \displaystyle k=\log_{a}{(x^{2}y)} \)，求k的範圍

[ 本帖最後由 czk0622 於 2015-5-20 03:05 PM 編輯 ]

第2題
\(w,{{w}^{3}},{{w}^{7}},{{w}^{9}}\)是-1的5次方根中，除了-1以外的其餘四個
故所求為\({{x}^{4}}-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1\)

初試：115  取  10
複試：10    取   1

想請教填充題1.4.10
ps.填充題#1 算出來答案有150跟-200， 不知道為什麼-200不合

填充1：數列每一項均為"實數"

[ 本帖最後由 wrty2451 於 2015-5-22 06:23 PM 編輯 ]

冠老師，方便在多提示一點嗎??
我還是想不出跟-200跟實數矛盾的地方...
麻煩了。

您應該是用這個方法做的

易知  \(S_{10}, S_{20}-S_{10}, S_{30}-S_{20}, S_{40}-S_{30}\)  為等比數列

\(\left(S_{20}-10\right)^2=10\left(70-S_{20}\right)\)

\(\Rightarrow S_{20}=30\) or \(-20\)


若 \(\displaystyle S_{20}=\frac{r^{20}-1}{r-1}=-20\)，\(r\)為公比

\(\displaystyle \Rightarrow S_{10}= \frac{r^{10}-1}{r-1}=10\)

\(\Rightarrow r^{10}=-3,  r^5=\sqrt{3}\, i\)

[ 本帖最後由 wrty2451 於 2015-5-22 11:28 PM 編輯 ]

想請教填充10 ， 謝謝