104永春高中一題

上星期教甄有出現的一題計算!!!
不知道如何估計才能逼近
請益大家 謝謝

[ 本帖最後由 bugmens 於 2015-5-14 04:39 AM 編輯 ]

試著解看看

第一項是 2，第二項是\(\frac{4}{9}\)，第三項是\(\frac{8}{49}\)......
\(r_{1}\) = \(\frac{t_{2}}{t_{1}}\) = \(\frac{2}{9}\) ，\(r_{2}\) = \(\frac{t_{3}}{t_{2}}\) = \(\frac{18}{49}\)  ...
後項除前項的一般式\( r =\frac{2^{2n-1}-2^{n+1}+2}{2^{2n}-2^{n+1}+1} \)

試著證明r會遞增，但當n跑到無窮大時，會收斂到\(\frac{1}{2}\)
所以原式 ≦ 2 + \(\frac{4}{9}\) + \(\frac{2}{9}\) + \(\frac{1}{9}\) + .... = 2 + \(\frac{8}{9}\) < 3

如有錯誤 請各位老師指正

sorry 第一次用Tex編輯 不知道有沒有顯示出來 爬文學習中@o@

[ 本帖最後由 CyberCat 於 2015-5-14 01:43 AM 編輯 ]

當 \(n\geq2\) 時，

\(\displaystyle\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{2^n}{\left(2^n-1\right)^2}=\frac{\left(2^n-1\right)^2-2^{n-1}\cdot2^n}{2^{n-1}\left(2^n-1\right)^2}=\frac{2^{2n-1}-2^{n+1}+1}{2^{n-1}\left(2^n-1\right)^2}=\frac{2^{n-1}\left(2^n-2^2\right)+1}{2^{n-1}\left(2^n-1\right)^2}\geq0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \frac{2^n}{\left(2^n-1\right)^2}\leq\frac{1}{2^{n-1}}\)

故，

對任意自然數 \(n\)，恆有 \(\displaystyle T_n<\frac{2}{\left(2-1\right)^2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots=2+\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=3\)

謝謝指教。好難想得到！