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101屏東女中三招

weni

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1^# 大中小發表於 2012-7-25 21:30 只看該作者

101屏東女中三招

大家請享用

TOTAL共23題，補充計算證明第23題：

三角形ABC，若

a=−

AB

−

AC，b=−

BA

−

BC，c=−

CA

−

CB，

試證：ab+bc+ca>0。

101.7.26補充
將題目重新打字。

[ 本帖最後由 bugmens 於 2012-7-26 09:51 PM 編輯 ]

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101屏東女中三招.pdf (190.98 KB): 2012-7-25 21:30, 下載次數: 10259

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GGQ

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2^# 大中小發表於 2012-8-1 09:22 只看該作者

回復 1# weni 的帖子

請教第3題的解法,謝謝!

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weiye

瑋岳

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3^# 大中小發表於 2012-8-1 12:41 只看該作者

回復 2# GGQ 的帖子

第 3 題：

因為 x

=1，所以 1+x+x2+

+xn=1−x1−xn

將上式左右兩邊同時對 x 微分，可得 1+2x+3x2+

+nxn−1=(1−x)2−nxn−1

(1−x)−(1−xn)

(−1)

即 1+2x+3x2+

+nxn−1=(1−x)2nxn−xn−nxn−1+1

將上式左右兩邊同時乘上 x，可得 x+2x2+3x3+

+nxn=(1−x)2nxn+1−xn+1−nxn+x

將上式左右兩邊同時對 x 微分，然後左右兩邊同時乘上 x，即可得所求。

多喝水。

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doordie25

KTR

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4^# 大中小發表於 2012-8-1 16:38 只看該作者

求助高手5、9題，完全沒想法....

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weiye

瑋岳

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5^# 大中小發表於 2012-8-1 19:54 只看該作者

回復 4# doordie25 的帖子

第 5 題：

將第一、二式表示成

(x−b)+(y−c)+(z−a)=0b(x−b)+c(y−c)+a(z−a)=0

可得 (x−b):(y−c):(z−a)=

1c1a

:

1a1b

:

1b1c

=(a−c):(b−a):(c−b)

令 x−b=k(a−c)

y−c=k(b−a)

z−a=k(c−b)

即 x=b+k(a−c)

y=c+k(b−a)

z=a+k(c−b)

再帶入題目所給之第三式，可得 (a2+b2+c2−ab−bc−ca)(k+1)=0

因為 a

b

c 為三相異實數，

所以 a2+b2+c2−ab−bc−ca=21

(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2

=0

故， k=−1

即 x=b+c−a

y=a+c−b

z=a+b−c

多喝水。

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老王

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6^# 大中小發表於 2012-8-2 11:04 只看該作者

回復 4# doordie25 的帖子

多背點公式吧
cos2A=

bcs(s−a)
cos2B=

acs(s−b)
cos2C=

abs(s−c)
tan2A=rs−a
tan2B=rs−b
tan2C=rs−c

cos2A

tan2Btan2C+cos2B

tan2Ctan2A+cos2C

tan2Atan2B

=r

bc

s(s−a)(s−b)(s−c)+r

ac

s(s−a)(s−b)(s−c)+r

ab

s(s−a)(s−b)(s−c)

=s

ab+

bc+

ac

又 a+b

2

ab
b+c

2

bc
a+c

2

ac
三式相加得到
2(a+b+c)

2(

ab+

bc+

ac)
故\displaystyle \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{s} \le 2

[ 本帖最後由老王於 2012-8-2 11:13 AM 編輯 ]

名豈文章著官應老病休飄飄何所似Essential isolated singularity

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阿光

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7^# 大中小發表於 2012-8-2 20:54 只看該作者

想請教第1,2題謝謝

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weiye

瑋岳

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8^# 大中小發表於 2012-8-2 21:19 只看該作者

回復 7# 阿光的帖子

第 1 題：

任取－沒有選到偶數－沒有選到５＋沒有選到偶數且沒有選到５

＝H_5^5-H_5^3-H_5^4+H_5^2=55

多喝水。

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weiye

瑋岳

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9^# 大中小發表於 2012-8-2 21:40 只看該作者

回復 7# 阿光的帖子

第 2 題：

所求＝\displaystyle\sum_{k=1}^{15}C^{2k+1}_3

　　　\displaystyle=\sum_{k=1}^{15}\frac{(2k+1)\cdot(2k)\cdot(2k-1)}{3!}

　　　\displaystyle=\sum_{k=1}^{15}\frac{4k^3-k}{3}

　　　\displaystyle=\frac{4}{3}\cdot\left(\frac{15\times16}{2}\right)^2-\frac{1}{3}\cdot\frac{15\times16}{2}

　　　=19160.

多喝水。

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doordie25

KTR

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10^# 大中小發表於 2012-8-2 23:24 只看該作者

感謝瑋老師

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